【高考领航】2022高考数学总复习3-6简单的三角恒等变换练习苏教版【A组】一、填空题1．若α，β均为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为________．解析：∵α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝－＝－＝－，∵sinβ＝＝＝.∵π<α＋β<2π，故由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－×＝，得α＋β＝.答案：2．已知cosα＝，cos＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，8\n∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.答案：3．(2022·广东梅州调研)已知α是锐角，且sin＝，则sin的值等于________．解析：由sin＝，得cosα＝，又α为锐角，∴sin＝－sin＝－＝－＝－＝－.答案：－4．已知tanα＝2，则＝________.解析：＝＝＝.答案：5．在△ABC中，tanA＝3tanB，则tan(A－B)的最大值为________，此时角A的大小为________．解析：tan(A－B)＝＝≤＝.当且仅当1＝3tan2B即tanB＝时取等号，此时tanA＝，A＝.答案： 6．已知α∈，sinα＝，则＋tan2α的值为______．8\n解析：cosα＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝，tanα＝＝，tan2α＝＝，＋tan2α＝＋＝7.答案：77．已知＝3，β≠kπ，α＋β≠nπ＋(n、k∈Z)，那么的值是________．解析：＝＝＝＝3，∴tan(α＋β)＝2tanβ，即＝2.答案：2二、解答题8．已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sinsin.(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋cos2x＝＋sin2x＋cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋，由tanα＝2得sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝－，所以f(α)＝.(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin＋，8\n由x∈得2x＋∈，所以sin∈，从而f(x)＝sin＋，∴f(x)∈.9．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f＝，求sinα.解：(1)由f(x)＝Asin(3x＋φ)，得f(x)的最小正周期为T＝.(2)由题意f(x)在x＝时取得最大值4，所以，A＝4，sin＝1，＋φ＝＋2kπ，(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin.(3)若f＝，则4sin＝，sin＝，所以cos2α＝，所以1－2sin2α＝，sin2α＝.∴sinα＝±.【B组】8\n一、填空题1．已知sin＝，则sin＝________.解析：sin＝cos＝1－2sin2＝.答案：2．(2022·江苏南京南航附中月考)函数f(x)＝cosx－·cos2x(x∈R)的最大值等于________．解析：f(x)＝cosx－(2cos2x－1)＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋，所以当cosx＝时，f(x)max＝.答案：3．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.解析：∵α的第三象限的角，∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan＝＝＝－.答案：－4.的值为________．解析：由tan(70°－10°)＝＝，8\n故tan70°－tan10°＝(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：＝＝＝.答案：5．(2022·四川宜宾江安中学模拟)在锐角△ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，则tan2B的值为________．解析：因为A＋B>，所以由sin(A＋B)＝得cos(A＋B)＝－，tan(A＋B)＝－.又因为sin(A－B)＝，且A，B为锐角，所以cos(A－B)＝，tan(A－B)＝.所以tan2B＝tan[(A＋B)－(A－B)]＝＝＝－.答案：－6．(2022·江苏南京一中月考)已知sinsin＝，则cos2x＝________.解析：因为sinsin＝sincos＝sin＝，所以cos2x＝.答案：8\n7．(2022·江苏如皋石庄中学月考)函数y＝cosx(cosx＋sinx)，x∈的值域是________．解析：y＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin＋.因为0≤x≤，所以≤sin≤1，从而1≤y≤＋.答案：二、解答题8．已知tan＝.(1)求tanα的值；(2)求的值．解：(1)tan＝＝.由tan＝，有＝.解得tanα＝－.(2)＝＝＝tanα－＝－－＝－.9．(2022·宿迁调研)设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f＝－，且C为锐角，求sinA.解：(1)f(x)＝cos2xcos－sin2xsin＋8\n＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.所以，当2x＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max＝.(2)由f＝－，即－sinC＝－，解得sinC＝，又C为锐角，所以C＝.由cosB＝求得sinB＝.因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.8
