专题能力训练6 三角函数的图象与性质(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则sin的值为( ) A.-B.C.-D.2.若当x=时,函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是( )A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于点(π,0)对称C.奇函数且图象关于直线x=对称D.偶函数且图象关于点对称3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立了如图所示的坐标系,设秒针针尖位置为P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin4.(2022浙江宁波期末考试,文5)函数f(x)=sin(ω>0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,若要得到函数g(x)=sinωx的图象,只需将f(x)的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.已知函数f(x)=cos的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的取值集合为( )A.B.C.D.6.函数h(x)=2sin的图象与函数f(x)的图象关于点(0,1)对称,则函数f(x)可由h(x)经过( )的变换得到.A.向上平移2个单位长度,向右平移个单位长度B.向上平移2个单位长度,向左平移个单位长度C.向下平移2个单位长度,向右平移个单位长度7\nD.向下平移2个单位长度,向左平移个单位长度7.(2022浙江金华十校4月模拟,文8)已知函数f(x)=(|t|>1)的最大值和最小值分别是M,m,则M·m为( )A.1B.2C.-1D.-2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022浙江宁波二模,文10)若角α终边所在的直线经过点P,O为坐标原点,则|OP|= ,sinα= . 9.(2022浙江诸暨教学质量检测,文11)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的周期为 ,f(0)= . 10.已知f1(x)=sincosx,f2(x)=sinxsin(π+x),若设f(x)=f1(x)-f2(x),则f(x)的单调递增区间是 . 11.(2022天津,文14)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2-(sinx-cosx)2.(1)求f的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.7\n13.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在区间上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.14.(本小题满分16分)已知定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,当x∈时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.(1)求函数y=f(x)在上的表达式;(2)求方程f(x)=的解.7\n参考答案专题能力训练6 三角函数的图象与性质1.D 解析:由三角函数的定义得tanθ=2,cosθ=±,所以tan2θ==-,cos2θ=2cos2θ-1=-.所以sin2θ=cos2θtan2θ=.所以sin(sin2θ+cos2θ)=.故选D.2.C 解析:由已知可知+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-π,k∈Z,又y=f=Asin-x+2kπ-=-Asinx,所以y=f是奇函数且图象关于x=对称.故选C.3.C 解析:由三角函数的定义可知,初始位置P0的弧度为,由于秒针每秒转过的弧度为-,针尖位置P到坐标原点的距离为1,故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y=sin.4.A 解析:由题意知,即T=π,因为T==π,所以ω=2.所以f(x)=sin=sin.因为g(x)=sin2x,所以要得到函数g(x)的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位.故选A.5.B 解析:因为f(x)=cos=sin(ωx+φ),由题图可知,所以ω==2.又由题图得sin=1,即2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-.所以f(x)=sin.则y=f=sin=sin,由2x+=-+2kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,所以y=f取得最小值时x的取值集合为.故选B.6.A 解析:设点P(x',y')是函数f(x)图象上任意一点,则点P关于点(0,1)的对称点Q(x,y)一定在函数h(x)的图象上,利用中点坐标公式可以求得x=-x',y=2-y',所以有2-y'=2sin,7\n即y'=2sin+2.所以f(x)=2sin+2.显然f(x)由h(x)向上平移2个单位长度,再向右平移个单位长度得到.7.A 解析:设y=⇒ty+ycosx=t+sinx⇒ty-t=sinx-ycosx⇒sin(x-φ)=⇒≤1⇒(t2-1)y2-2t2y+(t2-1)≤0.设关于y的方程(t2-1)y2-2t2y+(t2-1)=0的两根是y1,y2(y1<y2),则y1·y2==1,而不等式的解为y1≤y≤y2,即y1,y2分别是函数f(x)=(|t|>1)的最小值m和最大值M,M·m=1.故选A.8.1 ± 解析:|OP|==1;若P在角α的终边上,则sinα=;若P在角α终边的延长线上,则sinα=-.综上,sinα=±.9.π 解析:由题中图象可知A=,即T=π,则ω==2.因此f(x)=sin(2x+φ).因为函数图象过点,所以-sin,即2×+φ=-+2kπ,k∈Z.所以φ=-+2kπ,k∈Z.令k=1,则φ=,所以f(x)=sin.所以f(0)=sin.10.(k∈Z) 解析:由题意知,f1(x)=-cos2x,f2(x)=-sin2x,f(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,令2x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z),得x∈(k∈Z).7\n故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).11. 解析:f(x)=sinωx+cosωx=sin,由2kπ-≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,即f(x)的单调递增区间是(k∈Z),而f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以解得因为ω2>0,所以只能取k=0,这时有0<ω2≤.①又因为函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+=kπ+(k∈Z),即ω2=kπ+(k∈Z).②由①②知ω2=.故ω=.12.解:(1)因为f(x)=2-(sinx-cosx)2=2-(3sin2x+cos2x-2sinxcosx)=2-(1+2sin2x-sin2x)=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin,所以f=2sin=2sin.所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)当x∈时,2x∈,所以当x=-时,函数取得最小值f=-1,当x=时,函数取得最大值f=2.13.解:(1)因为ω>0,根据题意有⇒0<ω≤.(2)由ω=2,得f(x)=2sin2x,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得g(x)=2sin+1=2sin+1,g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为.故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,7\n则b-a的最小值为14×+15×.14.解:(1)当x∈时,A=1,,T=2π,∴ω=1.又∵f(x)=sin(x+φ)过点,则+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.∵-<φ<,∴φ=.∴f(x)=sin.当-π≤x<-时,-≤-x-,∴f=sin.而函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,则f(x)=f,即f(x)=sin=-sinx,-π≤x<-.∴f(x)=(2)当-≤x≤时,≤x+≤π,由f(x)=sin,得x+,x=-.当-π≤x<-时,由f(x)=-sinx=,sinx=-,得x=-或-.∴x=-或-或-.7
