第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位解析 因为y＝sin3x＋cos3x＝cos，要得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位，故选C.答案 C2.(2022·豫西名校期末)若函数f(x)＝sinax＋cosax(a＞0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为( )A.－B.C.D.(0，0)解析 f(x)＝2sin，∵T＝＝2，∴a＝π.∴f(x)＝2sin，∴当x＝时，f(x)＝0.故选B.答案 B3.(2022·成都期末)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A.x＝－B.x＝－C.x＝D.x＝5\n解析 由题意知y＝sin＝sin＝－cos2x，验证可知x＝－是所得图象的一条对称轴.答案 A4.(2022·唐山期末)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上递减，则ω＝( )A.3B.2C.6D.5解析 ∵f(x)＝2sin，f＋f＝0.∴当x＝＝时，f(x)＝0.∴ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A、C；又f(x)在上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.答案 B5.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f等于( )A.B.C.D.1解析 由图象可知，f＝f＝0，得到f(x)的一条对称轴为x＝＝，所以x1＋x2＝2×＝，观察图象可知f＝1，所以f＝1.5\n答案 D二、填空题6.(2022·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5，∴ymax＝k＋3＝8.答案 87.(2022·湖北卷)函数f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________.解析 f(x)＝2sinxsin－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2.令f(x)＝0，则sin2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与函数y＝x2的图象的交点个数.作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.答案 28.(2022·天津卷)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.解析 f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，∵函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，∴f(ω)＝sin＝±，∴ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝＋kπ，k∈Z，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，∴ω2＋≤，即ω2≤，取k＝0，得ω2＝，∴ω＝.答案 三、解答题9.已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1(x∈R)，问：该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到.解 法一 y＝cos2x＋sinxcosx＋15\n＝(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1＝cos2x＋sin2x＋＝＋＝sin＋.法二 化简同法一y＝sin＋.10.已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0＜α＜，且sinα＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解 f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－5\n＝sin2x＋cos2x＝sin.(1)因为0＜α＜，sinα＝，所以α＝，从而f(α)＝sin＝sin＝.(2)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.11.(2022·重庆卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求g(x)的值域.解 (1)f(x)＝sin2x－cos2x＝sin2x－(1＋cos2x).＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.(2)由条件可知，g(x)＝sin－.当x∈时，有x－∈，从而sin的值域为，那么sin－的值域为.故g(x)在区间上的值域是.5
