专题二三角函数、平面向量第1讲 三角函数的图象与性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2022·山东卷)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )．A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析 ∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．答案 B2．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 φ＝⇒f(x)＝Acos＝－Asinωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝＋kπ(k∈Z)D/⇒φ＝.∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．答案 B3.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是7\n( )．A．2，－B．2，－C．4，－D．4，解析 T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈，∴φ＝－，选A.答案 A4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )．A．2B．4C．6D．8解析 由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.答案 A5．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )．A.B.C.D.解析 y＝cosx＋sinx＝2sin，向左平移m个单位长度后得到y＝2sin7\n，由它关于y轴对称可得sin(＋m)＝±1，∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z，又m>0，∴m的最小值为.答案 B6．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )．A.B.C．2D．3解析 由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案 B7．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f<f(π)，则下列结论正确的是( )．A．f＝－1B．f>fC．f(x)是奇函数D．f(x)的单调递增区间是(k∈Z)解析 由f(x)≤恒成立知x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f<f(π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sinφ<sinφ.所以sinφ>0，得φ＝，即f(x)＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．7\n答案 D二、填空题8．(2022·重庆卷改编)若tanα＝2tan，则＝________.解析 ＝＝＝＝＝＝3.答案 39．(2022·安徽卷)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．解析 ∵函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin＝sin，又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝－－(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值.答案 10．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析 f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.答案 －11．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．7\n解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.答案 12．(2022·浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 f(x)＝＋sin2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.答案 π (k∈Z)三、解答题13．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝sincos－sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．解 (1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.14．已知函数f(x)＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx－(其中ω>0)，且函数f(x)的周期为π.(1)求ω的值；7\n(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的单调区间．解 (1)因为f(x)＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx－＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin，又因为函数f(x)的周期为π，且ω>0，所以T＝＝＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝2sin2＋＝2sin的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin(4x－)的图象．由－＋2kπ≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤＋(k∈Z)；由＋2kπ≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)．故函数g(x)在上的单调递增区间为，单调递减区间为.15．已知函数f(x)＝sinx－＋cosx－，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝.求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解 f(x)＝sin＋cos7\n＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝，得sinα＝，又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．7
