专题能力训练3 函数的图象与性质(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(2022北京,文3)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x2.(2022陕西,文4)设f(x)=则f(f(-2))=( )A.-1B.C.D.3.(2022浙江重点中学协作体二适,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),则f(-1)=( )A.3B.1C.-1D.-34.(2022天津,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a5.函数f(x)=的图象大致是( )6.函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点共有( )A.0对B.1对C.2对D.3对7.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六个不同的实根,则a的取值范围是( )A.(2,8]B.(2,9]C.(8,9]D.(8,9)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022浙江第一次五校联考,文14)已知偶函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x-1,则f= . 9.(2022浙江宁波镇海中学5月模拟,文9)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是 ;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是 . 6\n10.(2022浙江温州三适,文14)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=-log2x,则f= ;使f(x)<0的x的取值范围是 . 11.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2012)+f(2013)+f(2014)的值为 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)求函数的值域.13.(本小题满分15分)定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).(1)判断k为何值时f(x)为奇函数,并证明;(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.14.(本小题满分16分)(2022浙江嘉兴教学测试(二),文20)已知函数f(x)=x2-|ax+1|,a∈R.(1)若a=-2,且存在互不相同的实数x1,x2,x3,x4满足f(xi)=m(i=1,2,3,4),求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.6\n参考答案专题能力训练3 函数的图象与性质1.B 解析:根据偶函数的定义f(-x)=f(x),A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D选项既不是奇函数也不是偶函数.故选B.2.C 解析:f(f(-2))=f=1-.3.D 解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),所以f(0)=0,则f(0)=20+2×0+m=0,解得m=-1,f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3.4.B 解析:∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0.∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,∴f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.5.A 解析:因为f(-x)==f(x),所以函数f(x)=是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D.令x=,f(x)=>0,排除B.故选A.6.D 解析:因为y=cosπx是偶函数,图象关于y轴对称,所以,本题可转化成求函数y=log3x与y=cosπx图象的交点个数的问题.作函数图象如图,可知它们有三个交点,即函数f(x)图象上关于y轴对称的点有3对.7.C 解析:6\n令t=x2+2x,则t≥-1,函数f(t)=由题意可得,函数f(t)的图象与直线y=a有3个不同的交点,且每个t值有2个x值与之对应,如图所示.由于当t=-1时,f(t)=8,此时,t=-1对应的x值只有一个x=-1,不满足条件,故a的取值范围是(8,9],故选C.8.- 解析:∵函数f(x)为偶函数且图象关于直线x=1对称,∴f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),∴f=f=f-1=-.9.(-∞,0]∪[2,+∞) 0≤a≤1 解析:当a=1时,f(x)=≥1,即-1≥1,所以x2-2x+1≥1,即x≥2或x≤0,所以解集为(-∞,0]∪[2,+∞);因为函数f(x)的定义域为R,所以-1≥0在R上恒成立,即x2-2ax+a≥0在R上恒成立,即Δ=(-2a)2-4a≤0,解得0≤a≤1.10.-2 -1<x<0或x>1 解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f=-f=-=-2.当x<0时,-x>0,所以-f(x)=f(-x)=-log2(-x),所以f(x)=log2(-x),由f(x)<0得解得-1<x<0或x>1.11.4 解析:∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,∴f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=4,∴f(2012)+f(2014)=f(2012)+f(2012+2)=f(2012)-f(2012)=0,∴f(2012)+f(2013)+f(2014)=4.12.解:(1)∵f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,解得a=1.(2)由(1)知,f(x)==1-,6\n∴f(x)为增函数.证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2.f(x1)-f(x2)=1--1+,∵x1<x2,∴<0,且+1>0,+1>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)为R上的增函数.(3)令y=,则2x=,∵2x>0,∴>0.∴-1<y<1.∴函数f(x)的值域为(-1,1).13.解:(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,∴k=0.证明:令a=b=0,由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x)是奇函数.(2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴f(mx2-2mx+3)>3=f(2)对任意x∈R恒成立.又f(x)是R上的增函数,∴mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,即mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,当m=0时,显然成立;当m≠0时,由得0<m<1.∴实数m的取值范围是[0,1).14.解:(1)若a=-2,则f(x)=x2-|-2x+1|=当x≤时,f(x)min=f(-1)=-2;当x>时,f(x)min=f(1)=0.6\nf,此时,f(x)的图象如图所示.要使得有四个不相等的实数根满足f(x)=m,即函数y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,因此m的取值范围为.(2)①若a=0,则f(x)=x2-1,在[1,2]上单调递增,满足条件;②若a>0,则f(x)=只需考虑x≥-的时候,此时f(x)的对称轴为x=,因此,只需≤1,即0<a≤2.③若a<0,则f(x)=结合函数图象,有以下情况:(ⅰ)-≤-,即-≤a<0时,此时f(x)在内单调递增,因此在[1,2]内也单调递增,满足条件;(ⅱ)->-,即a<-时,f(x)在内均单调递增,只需-≥2或-≤1,解得-2≤a<-;由(ⅰ)(ⅱ)可得,a的取值范围为-2≤a<0.由①②③得,实数a的取值范围为-2≤a≤2.6
