专题能力训练9 三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin2x-π3的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度2.设θ∈R,则“θ-π12<π12”是“sinθ<12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=kπ2-π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)4.(2022全国Ⅱ,理10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π10\n5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=π3对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是( )A.π3,1B.π12,0C.5π12,0D.-π12,06.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)= . 7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(3,2sinx)⊗(cosx,cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为 . 8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f(x)= . 9.已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点π3,0,则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是 .(写出其中的一条即可) 10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.11.已知函数f(x)=sin2x-sin2x-π6,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π3,π4上的最大值和最小值.10\n二、思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于( )A.2B.3C.-3D.-213.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π2414.函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.815.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=2(sinx+cosx);③f(x)=sinx;④f(x)=2sinx+2.其中为“互为生成”函数的是 .(填序号) 16.如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α,且tanα=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n= . 17.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;10\n(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=2m25-1.10\n专题能力训练9 三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.D 解析由题意,为得到函数y=sin2x-π3=sin2x-π6,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度,故选D.2.A 解析当θ-π12<π12时,0<θ<π6,∴0<sinθ<12.∴“θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分条件.当θ=-π6时,sinθ=-12<12,但不满足θ-π12<π12.∴“θ-π12<π12”不是“sinθ<12”的必要条件.∴“θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分而不必要条件.故选A.3.B 解析由题意可知,将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度得y=2sin2x+π12=2sin2x+π6的图象,令2x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z).故选B.4.A 解析f(x)=2cosx+π4,图象如图所示,要使f(x)在[-a,a]上为减函数,a最大为π4.5.B 解析由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=π3对称,得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z).∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin2x-π6.令2x-π6=kπ(k∈Z),则x=π12+k2π(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为π12,0.故选B.10\n6.-79 解析方法1:因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-2232+132=-79.方法2:由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2×132-1=-79.7.5π12 解析f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+π6,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x)=2cos2(x+n)+π6=2cos2x+2n+π6,要使它为偶函数,则需要2n+π6=kπ(k∈Z),所以n=kπ2-π12(k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值5π12.8.2sinπ8x+π4 解析由题意得A=2,函数的周期为T=16.∵T=2πω,∴ω=π8,此时f(x)=2sinπ8x+φ.由f(2)=2,即sinπ8×2+φ=sinπ4+φ=1,则π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π4,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π4,∴函数的解析式为f(x)=2sinπ8x+π4.9.x=-π3(答案不唯一) 解析将点π3,0代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3.10.解(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12,f2π3=322--122-23×32×-12,得f2π3=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,10\n解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z).11.解(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32=1212cos2x+32sin2x-12cos2x=34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6.所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π3,-π6上是减函数,在区间-π6,π4上是增函数,f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34.所以f(x)在区间-π3,π4上的最大值为34,最小值为-12.二、思维提升训练12.A 解析设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以T22+42=5,解得T=6.所以ω=2πT=π3.又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z).又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.所以f(x)=2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6.对于函数f(x)=2sinπ3x+π6,当x略微大于0时,有f(x)>2sinπ6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sinπ3x+5π6.故f(-1)=2sin-π3+5π6=2.13.A 解析由题意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥14·2πω,所以23≤ω<1.所以排除C,D.当ω=23时,f5π8=2sin5π8×23+φ10\n=2sin5π12+φ=2,所以sin5π12+φ=1.所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=π12.故选A.14.D 解析函数y1=11-x,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1<x≤4时,y1<0,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在1,32和52,72上是减函数;在32,52和72,4上是增函数.所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.15.①④ 解析首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=2sinx+π4,②f(x)=2sinx+π4,③f(x)=sinx,④f(x)=2sinx+2.可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=2sinx+π4的图象与②f(x)=2sinx+π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=2sinx+2的图象可以向左平移π4个单位,再向下平移2个单位即可得到①f(x)=2sinx+π4的图象,所以①④为“互为生成”函数.16.3 解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.17.(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cosx-π2的图象,故f(x)=2sinx.从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+π2(k∈Z).10\n(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx=525sinx+15cosx=5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25.依题意,sin(x+φ)=m5在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当m5<1,故m的取值范围是(-5,5).②证法一因为α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.当1≤m<5时,α+β=2π2-φ,即α-β=π-2(β+φ);当-5<m<1时,α+β=23π2-φ,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2m52-1=2m25-1.证法二因为α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.当1≤m<5时,α+β=2π2-φ,即α+φ=π-(β+φ);当-5<m<1时,α+β=23π2-φ,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+β)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)10\n=-1-m52+m52=2m25-1.10
