专题能力训练9 三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.为了得到函数y=sinx+π3的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度答案：A解析：由题意,为得到函数y=sinx+π3的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度,故选A.2.函数y=sinx2的图象是( )答案：D解析：∵f(-x)=sin(-x)2=sinx2=f(x),∴y=sinx2的图象关于y轴对称,排除A,C;又当x=±π2时,sinπ24≠1,∴排除B,故选D.3.若函数f(x)=3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在区间-π4,0上为减函数,则θ的一个值为( )A.-π3B.-π6C.5π6D.2π3答案：C解析：由已知得f(x)=2sin2x+π6+θ,因为f(x)为奇函数,所以π6+θ=kπ(k∈Z),排除A,D.又函数f(x)在区间-π4,0上为减函数,排除B.故选C.7\n4.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有fπ8+t=fπ8-t,且fπ8=-3,则实数m的值等于( )A.-1B.±5C.-5或-1D.5或1答案：C解析：依题意,得函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,于是当x=π8时,函数f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故选C.5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=π3对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是( )A.π3,1B.π12,0C.5π12,0D.-π12,0答案：B解析：由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=π3对称,得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z).∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin2x-π6.令2x-π6=kπ(k∈Z),则x=π12+k2π(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为π12,0.故选B.6.已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,则tanθ-π4= . 答案：-43解析：∵sinθ+π4=35,∴cosθ-π4=cosθ+π4-π2=sinθ+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sinθ-π4=-45.∴tanθ-π4=-43.7.(2022北京,文9)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ= . 7\n答案：13解析：由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα=13.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f(x)= . 答案：2sinπ8x+π4解析：由题意得A=2,函数的周期为T=16.∵T=2πω,∴ω=π8,此时f(x)=2sinπ8x+φ.由f(2)=2,即sinπ8×2+φ=sinπ4+φ=1,则π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π4,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π4,∴函数的解析：式为f(x)=2sinπ8x+π4.9.已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点π3,0,则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是 .(写出其中的一条即可) 答案：x=-π3(答案：不唯一)解析：将点π3,0代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3.10.已知函数f(x)=3sin2x+sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x∈0,π2时,求函数f(x)的值域.解(1)f(x)=3sin2x+sinxcosx=312-12cos2x+12sin2x=sin2x-π3+32,则函数f(x)的最小正周期为T=π.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得-π12+kπ≤x≤kπ+5π12,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间是-π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z.7\n(2)当x∈0,π2时,2x-π3∈-π3,2π3,则sin2x-π3∈-32,1,故函数f(x)的值域为f(x)∈0,1+32.11.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=2sin2x+π4+1,所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)的计算结果知,f(x)=2sin2x+π4+1.当x∈0,π2时,2x+π4∈π4,5π4,由正弦函数y=sinx在π4,5π4上的图象知,当2x+π4=π2,即x=π8时,f(x)取最大值2+1;当2x+π4=5π4,即x=π2时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在区间0,π2上的最大值为2+1,最小值为0.二、思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于( )A.2B.3C.-3D.-2答案：A解析：设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以T22+42=5,解得T=6.所以ω=2πT=π3.又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z).又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.7\n所以f(x)=2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6.对于函数f(x)=2sinπ3x+π6,当x略微大于0时,有f(x)>2sinπ6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sinπ3x+5π6.故f(-1)=2sin-π3+5π6=2.13.(2022天津,文7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案：A解析：由题意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥14·2πω,所以23≤ω<1.所以排除C,D.当ω=23时,f5π8=2sin5π8×23+φ=2sin5π12+φ=2,所以sin5π12+φ=1.所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=π12.故选A.14.函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8答案：D解析：函数y1=11-x,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.7\n当1<x≤4时,y1<0,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在区间1,32和52,72上是减函数;在区间32,52和72,4上是增函数.所以函数y1在区间(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在区间(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.15.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=2(sinx+cosx);③f(x)=sinx;④f(x)=2sinx+2.其中为“互为生成”函数的是 .(填序号) 答案：①④解析：首先化简题中的四个解析：式可得:①f(x)=2sinx+π4,②f(x)=2sinx+π4,③f(x)=sinx,④f(x)=2sinx+2.可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=2sinx+π4的图象与②f(x)=2sinx+π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=2sinx+2的图象可以向左平移π4个单位,再向下平移2个单位即可得到①f(x)=2sinx+π4的图象,所以①④为“互为生成”函数.16.已知函数f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sinπ2+φ(0<φ<π),其图象过点π6,12.(1)求φ的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,π4上的最大值和最小值.解(1)∵f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sinπ2+φ(0<φ<π),∴f(x)=12sin2xsinφ+1+cos2x2cosφ-12cosφ=12sin2xsinφ+12cos2xcosφ=12(sin2xsinφ+cos2xcosφ)=12cos(2x-φ).又函数图象过点π6,12,∴12=12cos2×π6-φ,即cosπ3-φ=1.∵0<φ<π,∴φ=π3.(2)由(1)知f(x)=12cos2x-π3,将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=12cos4x-π3.7\n∵x∈0,π4,∴4x∈[0,π],∴4x-π3∈-π3,2π3,即-12≤cos4x-π3≤1.故y=g(x)在区间0,π4上的最大值和最小值分别为12和-14.7
