第十二章 推理与证明、算法、复数第四节 复 数A级·基础过关|固根基|1.(2019届南昌模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为( )A．1B．－1C．iD．－i解析：选B ∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B．2．(2020届合肥调研)已知i是虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C 因为z＝＝＝－1－2i，所以z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，该点位于第三象限，故选C．3．(2019届安徽铜陵模拟)已知复数z满足z·i＝z－i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．B．2C．D．解析：选C 由z·i＝z－i，得z＝＝＝－＋i，∴|z|＝＝.故选C．4．(2019届湖南湘潭二模)已知复数z＝－－1，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为( )A．(－1，－1)B．(－1，1)C．(1，2)D．(1，－2)解析：选A ∵z＝－－1＝－1＋i，∴z＝－1－i，则在复平面内，z对应的点的坐标为(－1，－1)，故选A．\n5．(2019届广东深圳二模)设i为虚数单位，则复数＝( )A．－1＋iB．－2＋2iC．1－iD．2－2i解析：选C ＝＝＝1－i，故选C．6．(2020届广州四校联考)若复数z满足z(1＋i)＝|1＋i|，则复数z的共轭复数的模为( )A．1B．C．2D．2解析：选B 由z(1＋i)＝|1＋i|可得z(1＋i)＝2，即z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，故||＝＝，故选B．7．(2019届湖北武汉模拟)设复数z满足＝i，则z＝( )A．＋iB．－iC．－＋iD．－－i解析：选C 由＝i，得1＋2z＝i－iz，∴z＝＝＝－＋i.故选C．8．(2019届河北保定一模)若复数z＝，则z＝( )A．－1＋3iB．－1－3iC．1＋3iD．1－3i解析：选A z＝＝＝＝－1－3i，∴＝－1＋3i，故选A．9．(2019届河北唐山二模)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则z的共轭复数为( )A．1＋iB．1－iC．iD．－i解析：选A 由(1＋i)z＝2，得z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.故选A．\n10．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝( )A．＋iB．＋iC．－－iD．－－i解析：选C 由题图知，z1＝－2－i，z2＝i，则＝－－＝－－i.故选C．B级·素养提升|练能力|11.(2020届陕西摸底)设复数z满足＝i，则下列说法正确的是( )A．z为纯虚数B．z的虚部为－iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝解析：选D 解法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由题意，得a＋bi＋1＝i(a＋bi)，即a＋1＋bi＝－b＋ai，所以解得所以z＝－－i，故z不是纯虚数，z的虚部为－，在复平面内，z对应的点为，位于第三象限，|z|＝＝，故选D．解法二：由＝i，得z＝＝＝－－i，则z不是纯虚数，z的虚部为－，在复平面内，z对应的点为，位于第三象限，|z|＝＝\n，故选D．12．(2017年全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解析：选B 解法一(特值法)：取z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故命题p2不正确；取z1＝i，z2＝2i，则z2＝－2i，z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故命题p3不正确，故选B．解法二(直接法)：对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，则z∈R成立，故命题p1正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得ab＝0，则a＝0或b＝0，复数z可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝2，故命题p3错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以＝a∈R成立，故命题p4正确．故选B．13．下面是关于复数z＝2－i的四个命题，p1：|z|＝5；p2：z2＝3－4i；p3：z的共轭复数为－2＋i；p4：z的虚部为－1.其中真命题为( )A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：选C 因为z＝2－i，所以|z|＝≠5，所以p1是假命题；z2＝(2－i)2＝3－4i，所以p2是真命题；易知z的共轭复数为2＋i，所以p3是假命题；z的实部为2，虚部为－1，所以p4是真命题．故选C．14．已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A．θ＝B．θ＝C．θ＝D．θ＝解析：选C z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i.z是纯虚数等价于\n等价于θ＝π＋kπ，k∈Z.故选C．15．在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．解析：因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x＋1的距离为＝.答案：16．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．解析：∵复数z＝x＋yi且|z－2|＝，∴复数z的几何意义是复平面内以点(2，0)为圆心，为半径的圆(x－2)2＋y2＝3.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设＝k，即y＝kx，则≤，可得k∈[－，]，所以的最大值为.答案：
