第十二章 推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理A级·基础过关|固根基|1.(2019届南充一诊)按如图所示的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“△”，则该图案共有( )…A．16层B．32层C．64层D．128层解析：选B 设该图案共有n层，则1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1024，即n2＝1024，所以n＝25＝32.故选B．2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为( ) 中国古代的算筹数码解析：选A 由题意知，千位9为横式，百位1为纵式|，十位1为横式—，个位7为纵式，故选A．3．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，如果初始值取3.1<π<3.2，即<π<，则在此基础上使用三次“调日法”，得出的π的更为精确的近似分数值为( )\nA．B．C．D．解析：选A 第一次为＝，该值为π的一个不足近似分数值，即<π<；第二次为＝，该值为π的一个过剩近似分数值，即<π<；第三次为＝，该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值．故选A．4．(2020届广州四校联考)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前N项和为M，满足：①N>80，②M是2的整数次幂，则满足条件的最小的N为( )A．21B．91C．95D．101解析：选C 由题意，数列分段给出，第n段是首项为1，公比为2的n项等比数列，因此前n段包含的项数为1＋2＋…＋n＝，这些项的和为20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋2n－1)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.设所求的N项中包含完整的n段等比数列以及第n＋1段等比数列中的项，则N＝＞80，解得n≥13，n∈N＋，此时N＝91，M＝2n＋1－13－2＝2n＋1－15，不满足M是2的整数次幂；当N＝92时，M＝2n＋1－14，不满足M是2的整数次幂；…；当N＝95时，M＝2n＋1，此时满足M是2的整数次幂，故满足条件的最小的N为95.故选C．5．(2019年全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm解析：选B 头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，\n由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42(cm)；由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于＝110(cm)，即有该人的身高小于110＋68＝178(cm)．又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65(cm)，即该人的身高大于65＋105＝170(cm)，故选B．6．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行．武汉市体育局为了让市民更多地了解军运会，并倡议大家做文明公民，准备组建A，B，C，D四个宣讲小组，开展丰富多彩的宣传和教育活动，其中甲、乙、丙、丁四人在不同的四个小组中，在被问及参加了哪个宣讲小组时，甲说：“我没有参加A和B小组．”乙说：“我没有参加A和D小组．”丙说：“我也没有参加A和D小组．”丁说：“如果乙不参加B小组，我就不参加A小组．”则参加C小组的人是________．解析：由题意知，丁参加A小组，则乙参加B小组，由乙、丙的说法知，丙参加C小组，则甲参加D小组．故参加C小组的人是丙．答案：丙7．(2019届厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，双曲线－＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．解析：设圆上任意一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方法，设双曲线－＝1上任意一点为(x0，y0)，则切线方程为－＝1(这个结论是正确的，证明略)．答案：－＝18．(2020届贵阳摸底)数式1＋中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t(t＞0)，则1＋＝t，t2－t－1＝0，取正值得t＝.用类似方法可得＝______．\n解析：根据已知代数式的求值方法，令＝m(m＞0)，两边平方得，12＋＝m2，即12＋m＝m2，解得m＝4(－3舍去)．答案：49．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；…可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝____________________．解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)10．(2019届黑龙江检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则____________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．答案：T4，，，B级·素养提升|练能力|11.(2019届广东七校联考)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102\n巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A．33B．34C．36D．35解析：选B 由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B．12．(2019届南宁市联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C．13．(2019届陕西西安测试)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n，3)＝n2＋n；正方形数 N(n，4)＝n2；五边形数 N(n，5)＝n2－n；六边形数 N(n，6)＝2n2－n；…可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.解析：观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列．易知n2前的系数为(k－2)，n前的系数为(4－k)，则N(n，k)＝(k－2)n2＋(4－k)n，故N(10，24)＝×(24－2)×102＋×(4－24)×10＝1000.答案：1000\n14．(2019届湖北八校联考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则＝________．解析：由m2＋n＝4得，n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表达式，可得＝＝＝－.答案：－
