第一篇方法篇·关键能力\n第四讲 复数、算法、推理与证明\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解．3．对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷3复数运算5全国卷乙卷1复数加减运算以及复数相等52020Ⅰ卷1复数运算和模的求解5Ⅱ卷15复数运算和几何意义5Ⅲ卷2复数除法52019Ⅰ卷2、8求复数的模；程序框图10Ⅱ卷2共轭复数的几何意义5Ⅲ卷2、9复数的除法；程序框图10\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷3复数运算5全国卷乙卷2复数运算52020Ⅰ卷2，9复数的运算和模的求解；程序框图10Ⅱ卷2，7复数的乘方运算；程序框图10Ⅲ卷2复数的除法运算52019Ⅰ卷1，9复数的乘法和模的计算；程序框图10Ⅱ卷2复数运算及共轭复数5Ⅲ卷2，9复数的除法运算；程序框图10\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身B\n2．(2021·全国卷乙卷)设2(z＋z)＋3(z-z)＝4＋6i，则z＝()A．1-2iB．1＋2iC．1＋iD．1-iC\n3．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知z＝2-i，则z(z＋i)＝()A．6-2iB．4-2iC．6＋2iD．4＋2i【解析】因为z＝2-i，故z＝2＋i，故z(z＋i)＝(2-i)(2＋2i)＝6＋2i.故选C.C\n4．(2021·浙江高考)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i，(i为虚数单位)，则a＝()A．-1B．1C．-3D．3【解析】(1＋ai)i＝i-a＝-a＋i，利用复数相等的充分必要条件可得：-a＝3，∴a＝-3.故选C.C\n【解析】由题意可得：z2＝(1＋i)2＝2i，则z2-2z＝2i-2(1＋i)＝-2.故|z2-2z|＝|-2|＝2.故选D.D\nD\nC\n\n8．(2019·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()A．5B．8C．24D．29B\n9．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D\n【解析】由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.\nB\n2．(2021·全国卷乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝()A．-3-4iB．-3＋4iC．3-4iD．3＋4iC\n3．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知z＝2-i，则z(z＋i)＝()A．6-2iB．4-2iC．6＋2iD．4＋2i【解析】因为z＝2-i，故z＝2＋i，故z(z＋i)＝(2-i)(2＋2i)＝6＋2i.故选C.C\n4．(2021·浙江高考)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i，(i为虚数单位)，则a＝()A．-1B．1C．-3D．3【解析】(1＋ai)i＝i-a＝-a＋i，利用复数相等的充分必要条件可得：-a＝3，∴a＝-3.故选C.C\n【解析】由题意可得：z2＝(1＋i)2＝2i，则z2-2z＝2i-2(1＋i)＝-2.故|z2-2z|＝|-2|＝2.故选D.D\nD\nC\n\n8．(2019·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()A．5B．8C．24D．29B\n9．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.D\n1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．感悟高考\n2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．\n核心拔头筹•考点巧突破\n1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．考点一 复数的概念与运算\n\nC\n\nB\n\n\nB\n\n4．(理)(2021·内蒙古高三一模)i是虚数单位，复数z满足：z(1＋i)＝i＋2i2＋3i3，则z＝()A．2B．2iC．-2D．-2iC\nB\n6．(2019·湖南株洲二模)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(e是自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特点是当x＝π时，eiπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B\n\n\n\n复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．\n1．(2021·全国高三模拟)已知复数z＝2＋3i(i为虚数单位)，则在复平面内z2＋|z|对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B\n\nC\n1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．考点二 程序框图\n1．(理)(2021·江西上饶市·高三三模)考拉兹猜想又名3n＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1，阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i＝()A．6B．7C．8D．9C\n【解析】当a＝3时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a＝10，i＝2；当a＝10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝5，i＝3；当a＝5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a＝16，i＝4；当a＝16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝8，i＝5；\n当a＝8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝4，i＝6；当a＝4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝2，i＝7；当a＝2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝1，i＝8；满足退出循环的条件，故输出结果为8.故选C.\nD\n\n\n3．(理)(2021·东北师大附中高三模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()A．n≥6B．n≥8C．n>10D．n≥10D\n【解析】由程序框图，其执行结果如下：1．S＝0，n＝0：n＝2，S＝2，执行循环体；2．S＝2，n＝2：n＝4，S＝6，执行循环体；3．S＝6，n＝4：n＝6，S＝12，执行循环体；4．S＝12，n＝6：n＝8，S＝20，执行循环体；5．S＝20，n＝8：n＝10，S＝30，跳出循环体，输出S＝30；∴框内条件应为n≥10.故选D.\n4．(角度创新)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值大于110，则输入正整数N的最小值为()A．5B．4C．3D．2D\n\nC\n\n求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．\n(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．\n1．(2021·全国高三二模)执行如图所示的程序框图，则输出S的值是()A．27B．48C．75D．76C\n【解析】第一次运行时，S＝0＋3×1＝3，k＝3，第二次运行时，S＝3＋3×3＝12，k＝5，第三次运行时，S＝12＋3×5＝27，k＝7，第四次运行时，S＝27＋3×7＝48，k＝9，第五次运行时，S＝48＋3×9＝75，k＝11，此时刚好满足k>10，故输出S＝75，故选C.\nA\n\n3．(2021·曲靖市第二中学高三二模)在如图所示的程序框图中，如果a＝6，程序运行的结果S为360，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是()A．k<3?B．k>3?C．k<4?D．k>4?A\n【解析】k＝6，S＝1×6＝6，k＝5，S＝6×5＝30，k＝4，S＝30×4＝120，k＝3，S＝120×3＝360，k＝2，终止循环，输出S＝360，故选A．\n考点三 推理与证明\n1．(2021·山东临沂市高三二模)某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为()A．书法、健美操、棋类B．健美操、书法、棋类C．棋类、书法、健美操D．棋类、健美操、书法B\n【解析】乙比选棋类的人个头高，所以乙没有选择棋类，因为丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，所以乙选择了书法，所以排除AD，因为乙的个头比甲小，所以丙比乙的个头小，所以丙选择棋类，甲选择健美操．故选B.\nB\n3．(情境创新)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为()A．81B．121C．364D．1093C\n\n\n\n1．破解归纳推理题的思维3步骤(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)．(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．(3)检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．\n2．破解类比推理题的3个关键(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．\n1．(2021·全国高三月考)2021年某市网络春节晚会节目的协调会上，几位导演对甲、乙、丙、丁、戊、己6个节目是否上春晚犹豫不决，经观众打分，导演们对这6个节目形成以下共识：①甲不上；②乙、丙两个要么都上，要么都不上；③如果丁上，则戊不上；④甲、乙、戊至少有1个上；⑤如果甲不上，则丁一定要上；⑥丙、己只有1个上．据此，可以推出()A．甲、乙、丙上春晚B．乙、丙、丁上春晚C．丙、丁、己上春晚D．丁、戊、己上春晚B\n【解析】由①⑤知甲不上，则丁一定上，由③知戊不上，由④知乙上，由②知丙上，由⑥知己不上，所以乙、丙、丁上春晚．故选B.\n\n\n明晰易错点•高考零失误\nD典例1易错点一：错用复数运算\n\n\nA典例2易错点二：不能正确理解复数的几何意义\n【易错释疑】该题易出现的问题如下：一是忽视题中所求，误以为判断复数z在复平面对应的点所在的象限导致出现错误；二是不能正确理解复数的几何意义，从而导致选错．
