1．平面向量及其应用向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领城向量的基础，在解决实际向题中发挥重要作用．本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题．内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用．（1）向量概念①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．②理解平面向量的几何表示和基本要素．（2）向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．②通过实例分析，掌握平面向量数量运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．⑤通过几何直观，了解平面向投影的概念以及投影向量的意义（参见案例）．⑥会用数量积判断两个平面向的垂直关系．（3）向量基本定理及坐标表示①理解平面向量基本定理及其意义．②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．（4）向量应用与解三角形①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．7\n③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．1．【2020全国Ⅰ卷】设，为单位向量，且，则．【答案】【解析】因为，为单位向量，所以，，所以，解得，所以．故答案为．【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．2．【2020全国Ⅱ卷】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则．【答案】【解析】由题意可得，由向量垂直的充分必要条件可得，即，解得，故答案为．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．一、单选题．1．已知向量，，若，则实数的值为（）7\nA．B．C．D．【答案】A【解析】∵向量，，若，则，∴实数，故选A．2．已知向量，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知，，因为，所以，从而，故选D．3．已知向量，，，若，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，又，，所以，即，解得，故选C．4．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量与的夹角为，，，由，知，，，解得．故选C．5．已知，为单位向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，为单位向量，且，所以，所以，所以，故选B．6．在中，，，为边上的高，为的中点，那么（）A．B．C．D．7\n【答案】A【解析】因为在中，，，为边上的高，所以，，又为的中点，则，故选A．7．已知向量，满足，，若与的夹角为，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不妨设，，则，，则，，，由向量夹角公式可知，解得，∵，则，故舍去一根，∴，故选C．8．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，∴，，，故答案为C．7\n二、多选题．9．已知是平行四边形对角线的交点，则（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为是平行四边形对角线的交点，对于选项A，结合相等向量的概念可得，，即A正确；对于选项B，由平行四边形法则可得，即B正确；对于选项C，由向量的减法可得，即C错误；对于选项D，由向量的加法运算可得，即D错误，综上可得A、B正确，故选AB．10．已知向量，，，设，的夹角为，则（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】根据题意，，，则，，依次分析选项：对于A，，，则不成立，A错误；对于B，，，则，即，B正确；对于C，，，不成立，C错误；对于D，，，则，，，则，则，D正确，故选BD．11．已知，，且与夹角为，则的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】AC7\n【解析】因为，且，，与夹角为，所以，解得或，故选AC．12．已知圆和两点，（）．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】圆的圆心，半径，设在圆上，则，，若，则，∴，∴，∴的最大值即为的最大值，等于，最小值为，∴的取值范围是，故选ABC．三、填空题．13．已知，，若，则实数；若，则实数．【答案】，【解析】由，可得，解得；由，得，即，解得．故答案为，．14．若平面向量，满足，，则．【答案】【解析】因为向量，满足，，所以①，②，由①②，得，即，7\n故答案为．15．已知非零向量与的夹角为，，若，则．【答案】【解析】由，可得，所以，即，又由，可得，解得（舍）或，故答案为．16．已知非零向量与的夹角为，，，则对于任意的，的最小值为．【答案】【解析】由平面向量数量积的定义可得，所以，，所以，当时，取最小值，故答案为．7
