小题满分限时练限时练(一)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M＝{x|x2－2x＜0}，N＝{－2，－1，0，1，2}，则M∩N＝( )A.∅B.{1}C.{0，1}D.{－1，0，1}解析 ∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{－2，－1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}.答案 B2.设(2＋i)(3－xi)＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )A.5B.C.2D.2解析 易得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(x，y∈R).∴∴故|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.答案 A3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a8＝0，S11＝33，则公差d的值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵a2＋a8＝2a5＝0，∴a5＝0，又S11＝＝11a6＝33，∴a6＝3，从而公差d＝a6－a5＝3.答案 C4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α\nD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析 对于A，a∥α，a∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A不是α∥β的一个充分条件.对于B，a⊂α，a∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B不是α∥β的一个充分条件.对于C，由a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α可得α∥β或α，β相交，所以C不是α∥β的一个充分条件.对于D，存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，如图，在β内过b上一点作c∥a，则c∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y＝2x，且一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.x2－5y2＝1B.5y2－x2＝1C.5x2－y2＝1D.y2－5x2＝1解析 抛物线y2＝4x的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以双曲线方程为5x2－y2＝1.答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P(A|B)的值为( )A.B.C.D.解析 ∵P(B)＝，P(AB)＝，由条件概率P(A|B)＝＝＝.答案 C7.在如图所示的△ABC中，点D，E分别在边AB，CD上，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BD\n＝2AD，CE＝2ED，则向量·＝( )A.9B.4C.－3D.－6解析 根据题意，AB＝3，BD＝2AD，则AD＝1，在△ADC中，又由AC＝2，∠BAC＝60°，则DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠BAC＝3，即DC＝，所以AC2＝AD2＋DC2，则CD⊥AB，故·＝(＋)·＝·＋·＝·＝3×2×cos180°＝－6.答案 D8.设定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x)＝f(4－x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x－ex＋1，若a＝f(2022)，b＝f(2019)，c＝f(2020)，则a，b，c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(4－x)，则f(x)的周期为4，则a＝f(2022)＝f(2)，b＝f(2019)＝f(3)＝f(4－3)＝f(1)，c＝f(2020)＝f(0).又当x∈[0，2]时，f(x)＝x－ex＋1，知f′(x)＝1－ex<0.∴f(x)在区间[0，2]上单调递减，因此f(2)<f(1)<f(0)，即a<b<c.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )A.C的方程为－y2＝1B.C的离心率为C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点\nD.直线x－y－1＝0与C有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0).又双曲线C过点(3，)，∴－()2＝λ，解得λ＝1，故A正确.此时C的离心率为＝，故B错误.双曲线C的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y＝ex－2－1经过点(2，0)，故C正确.把直线方程代入双曲线C的方程并整理，得x2－6x＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x－y－1＝0与双曲线C只有一个公共点，所以D错误.故选AC.答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x，x∈R，则( )A.－2≤f(x)≤2B.f(x)在区间(0，π)上只有1个零点C.f(x)的最小正周期为πD.直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴解析 已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin，x∈R，则－2≤f(x)≤2，A正确；令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，则f(x)在区间(0，π)上有2个零点，B错误；f(x)的最小正周期为π，C正确；当x＝时，f＝2sin(2×－)＝2，所以直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.答案 ACD11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是( )A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75\n解析 由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4000×(0.01＋0.015)×10＝1000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.答案 ABC12.下列结论正确的是( )A.若a>b>0，c<d<0，则一定有>B.若x>y>0，且xy＝1，则x＋>>log2(x＋y)C.设{an}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－x2解析 对于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，则－>－>0，又a>b>0，所以－>－，则>，故A正确.对于B，取x＝2，y＝，则x＋＝4，＝，log2(x＋y)＝log2>1，故B不正确.对于C，由题意得a1＋a3＝2a2且a1≠a3，所以a2＝(a1＋a3)>×2＝，故C正确.对于D，设h(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，则h′(x)＝－1＋＝，当0<x<3时，h′(x)<0，则h(x)单调递减，h(x)<h(0)＝0，故D不正确.故选AC.答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C：(x－)2＋y2＝r2(r＞0)与双曲线E：x2－y2＝1的渐近线相切，则r＝________.解析 ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0.依题意，得r＝＝1.答案 114.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn.若a2＋a5＝24，S3＝S9，则a6＝________，Sn的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由S3＝S9，得a4＋a5＋…＋a9＝0，则a6＋a7＝0.又a2＋a5＝24，所以设等差数列{an}的公差为d，可得解得所以a6＝a1＋5d＝2，Sn＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72，故当n＝6时，Sn取得最大值72.答案 2 72\n15.若(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝________.解析 由已知得C·22＋a·C·23＝20，解得a＝－.答案 －16.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为________.解析 因为“牟合方盖”的体积为，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，所以正方体的内切球的体积V球＝×＝π.则内切球的半径r＝1，正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d＝2，因此正方体外接球的直径2R＝d＝2，则半径R＝.所以正方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π()2＝12π.答案 12π限时练(二)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点位于( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析 z＝＝＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点(－1，－2)在第三象限.答案 B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A.{x|x＞1或x＜0}B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2}D.{x|x＞1}\n解析 易知A＝{x|x＞2或x＜0}，∁RB＝{x|x＞1}，∴A∩(∁RB)＝{x|x＞2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：月份x23456销售额y/万元15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程＝0.75x＋，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( )A.19.5万元B.19.25万元C.19.15万元D.19.05万元解析 易知＝4，＝16.8.∵回归直线＝0.75x＋过点(4，16.8)，∴＝16.8－4×0.75＝13.8，则＝0.75x＋13.8.故7月份的销售额＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元).答案 D4.的展开式中的常数项为( )A.－3B.3C.6D.－6解析 通项Tr＋1＝C(－x4)r＝C()3－r(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6.答案 D5.已知等比数列{an}中，a1＝2，数列{bn}满足bn＝log2an，且b2＋b3＋b4＝9，则a5＝( )A.8B.16C.32D.64解析 由{an}是等比数列，且bn＝log2an，∴{bn}是等差数列，又b2＋b3＋b4＝9，所以b3＝3.由b1＝log2a1＝1，知公差d＝1，从而bn＝n，因此an＝2n，于是a5＝25＝32.答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“\n升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( )A.B.C.D.解析 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相应独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P＝＋C＝.答案 A7.函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π，且x≠0)的图象可能为( )解析 由f(－x)＝－f(x)及－π≤x≤π，且x≠0判定函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B选项；当x>0且x→0时，－→－∞，cosx→1，此时f(x)→－∞，排除C选项，故选D.答案 D8.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上的一点，且＝2，则·＝( )A.B.C.1D.2解析 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，∵＝2，∴＝＝(－4，)＝，则D，\n∴＝，＝(3，0)，所以·＝3×＋0×＝1.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10000，12000，15000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析 由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10000×60%＝6000(万元)，支付工资10000×35%＝3500(万元)，其他费用支出为10000×5%＝500(万元)；乙企业的材料成本为12000×53%＝6360(万元)，支付工资为12000×30%＝3600(万元)，其他费用支出为12000×17%＝2040(万元)；丙企业的材料成本为15000×60%＝9000(万元)，支付工资为15000×25%＝3750(万元)，其他费用支出为15000×15%＝2250(万元).所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业是甲，材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数\ng(x)＝sin的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的图象关于点成中心对称D.函数f(x)的一个单调递减区间为解析 由题意可知函数f(x)的最小正周期T＝＝π，B正确；将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象，所以sin＝sin＝sin，所以－＋φ＝，所以φ＝∈(0，π)，A错误；f(x)＝sin，令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－，k∈Z，C错误；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的一个单调递减区间为，D正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a>b>0，则下列不等关系正确的是( )A.<B.lg>C.a＋<b＋D.－>解析 对于A，因为－＝＝，又a>b>0，所以<，故A正确；因为＝lg，又≥，当且仅当a＝b时等号成立，由a>b>0，得>，所以lg>lg，即lg>，故B正确；因为a＋－＝(a－b)＋＝(a－b)＋＝(a－b)·，又a>b>0，所以a＋－>0，即a＋>b＋，故C错误；因为a>b>0，所以－>0，则(－)2＝a＋b－2，而()2＝a－b，即(－)2－()2＝2b－2＝2(b－)，又a>b>0，所以b－<0，所以(－)2<()2，即－<，故D错误.故选AB.答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P在双曲线C：－＝1上，点F1，F2是双曲线C\n的左、右焦点.若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是( )A.点P到x轴的距离为B.|PF1|＋|PF2|＝C.△PF1F2为钝角三角形D.∠F1PF2＝解析 由双曲线C：－＝1可得，a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(xP，yP)，由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2||yP|＝c|yP|＝5|yp|＝20，所以|yP|＝4，选项A错误.将|yP|＝4代入双曲线C的方程－＝1中，得－＝1，解得|xP|＝.由双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则P，可知|PF2|＝＝.由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，选项B正确.在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，选项D错误.故选BC.答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1000名学生，一次数学考试成绩服从正态分布X～N(105，102)，P(95≤X≤105)＝0.34，则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X～N(105，102)，∴考试成绩关于X＝105对称.∵P(95≤X≤105)＝0.34，∴P(X>115)＝×(1－0.68)＝0.16，∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1000＝160.答案 16014.曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________.解析 ∵y＝1－＝，∴y′＝＝，∴y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案 2x－y＋1＝0\n15.已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________，此时Sn＝________.(本小题第一空3分，第二空2分)解析 所有的正奇数和2n(n∈N*)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，25前面有16个正奇数，即a21＝25，a38＝26.当n＝1时，S1＝1<12a2＝24，不符合题意；当n＝2时，S2＝3<12a3＝36，不符合题意；当n＝3时，S3＝6<12a4＝48，不符合题意；当n＝4时，S4＝10<12a5＝60，不符合题意；……；当n＝26时，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合题意；当n＝27时，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合题意.故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27.答案 27 54616.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，有下列判断：①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P∥平面ACD1；③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是；④三棱锥D1－APC的体积不变.其中，正确的是________(把所有正确判断的序号都填上).解析 在正方体中，B1D⊥平面ACD1，B1D⊂平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，所以①正确.连接A1B，A1C1，如图，容易证明平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以②正确.因为BC1∥AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在△A1BC1中，易知所求角的范围是，所以③错误.VD1－APC＝VC－AD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥D1－APC的体积不变，所以④正确.\n答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A＝{x∈N|x2<8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则B∪(∁AC)＝( )A.{2，3，4，5}B.{2，3，4，5，6}C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}解析 因为A＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以∁AC＝{1，4，5，6}，所以B∪(∁AC)＝{1，2，3，4，5，6}.故选C.答案 C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，则z＝( )A.iB.6iC.iD.20解析 因为z＝3a＋2＋(6－a)i为纯虚数，所以3a＋2＝0，解得a＝－，所以z＝i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x，y的线性相关性进行试验，并分别用回归分析法求得相关系数r，如下表：甲乙丙丁r－0.820.780.690.87哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？( )A.甲B.乙C.丙D.丁解析 由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1，因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a＝ln，b＝－5－，c＝log2，则( )A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c\n解析 由题意易知－a＝ln2，－b＝5－，－c＝log32.因为＝log3<log32<ln2<1，0<5－<4－＝，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2000，1002)，则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1900，2200]内的概率为( )附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.A.0.9759B.0.84C.0.8186D.0.4772解析 ∵ξ服从正态分布N(2000，1002)，∴μ＝2000，σ＝100，则P(1900<ξ≤2200)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.6827＋(0.9545－0.6827)＝0.8186.故选C.答案 C6.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为k的直线过F交C于点A，B，且＝2，则直线AB的斜率为( )A.2B.2C.±2D.±2解析 由题意知k≠0，F，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程消去x，得y2－y－p2＝0.不妨设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，B(x2，y2).因为＝2，所以y1＝－2y2.又y1y2＝－p2.所以y2＝－p，x2＝，所以kAB＝＝2.根据对称性，直线AB的斜率为±2.答案 C7.已知点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，＝－4＋λ，则λ＝( )\nA.B.1C.2D.3解析 设||＝r，则＝，由已知，得＝(1，0)，＝(1，)，又＝－4＋λ，∴＝－4(1，0)＋λ(1，)＝(－4＋λ，λ)，∴解得λ＝1.答案 B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝BD，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A－BCED体积最大时，二面角A－BC－D的大小为( )A.B.C.D.解析 因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于O，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A－BCED体积最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，则BC⊥平面AOH，∴∠AHO为二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由＝＝，∴tan∠AHO＝＝，则二面角A－BC－D的大小为.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是( )\nA.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小，变化比较平稳解析 根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数比9月小，A错误.根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B正确.一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，C正确.根据折线图可知D正确.故选BCD.答案 BCD10.下列各式中，值为的是( )A.sin15°cos15°B.cos2－sin2C.D.解析 sin15°cos15°＝＝，排除A；cos2－sin2＝cos＝，B正确；＝＝，排除C；tan45°＝，得＝，D正确.故选BD.答案 BD11.已知{an}是等比数列，若a6＝8a3＝8a，则( )A.an＝2n－1B.an＝2nC.Sn＝2n－1D.Sn＝2n＋1－2解析 设数列{an}的公比为q，由a6＝8a3，得a3·q3＝8a3，则q3＝8，所以q＝2.又8a3＝8a\n，则a2·q＝a，又a2≠0，所以a2＝2，即an＝a2qn－2＝2n－1，所以a1＝1，Sn＝＝2n－1，故选AC.答案 AC12.数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )A.Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)B.S4＝F6－1C.S2019＝F2020－1D.S2019＝F2021－1解析 根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.答案 ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a＝，b＝，则a，b的大小关系为________.解析 法一 由题意知，a－b＝－＝＝>0，故a>b.法二 可考虑用函数的单调性解题.令f(x)＝＝，则f(x)在定义域内单调递减，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案 a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析 由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C个，而首位数字是1的“递增型验证码”有C个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率\np＝＝.答案 15.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的右焦点的坐标为________，离心率为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 如图，∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，则右焦点为F2(5，0).连接PF2.设点A为PF的中点，连接OA，则OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|＝＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝＝6.由双曲线的定义，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴离心率e＝＝5.答案 (5，0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析 因为QB∥平面D1NT，所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内，如图，取DC的中点E1，取A1G＝1，则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，交AD的延长线于点E，连接EG，交DD1于点I.显然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊AB，∴DE1为△EAB的中位线，∴D为AE的中点.又DI∥AG，∴DI＝AG＝1，∴GI＝＝.答案 \n限时练(四)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁RB)＝( )A.[2，3)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁RB＝(－3，3)，则A∩(∁RB)＝(2，3).答案 B2.设x，y∈R，i为虚数单位，且＝1＋2i，则z＝x＋yi的共轭复数在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 z＝＝＝－i，则＝＋i，对应点在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是( )A.数列{an}是递增数列B.数列{Sn}是递增数列C.数列{an}的最大项是a11D.数列{Sn}的最大项是S11解析 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{an}不是递增数列，所以A错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S33＝S34，所以数列{Sn\n}不是递增数列，所以B错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{an}的最大项是a11，所以C正确；由an≥0，知Sn＋1≥Sn，故数列{Sn}的最大项是最后一项，所以D错误.故选C.答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )A.B.C.D.解析 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n＝CA＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m＝A＋CA＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p＝＝＝.答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式的展开式中，有理项的项数为( )A.1B.2C.3D.4解析 该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx＝C·x，r＝0，1，2，…，7.当r＝1，3，5，7时，Tr＋1为有理项，共有4项.故选D.答案 D6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )A. B.C. D.解析 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，0，0)，C(0，，0)，\n∴D，∴＝，＝(0，，－)，∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.答案 B7.已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，||＝2，＝＋，若M是线段AB的中点，则·的值为( )A.B.2C.2D.3解析 由＝＋，又＝(＋)，所以·＝·(＋)＝(2＋22＋3·)，又△OAB为等边三角形，所以·＝2×2cos60°＝2，2＝4，2＝4，所以·＝3.答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝f(x)－|kx－1|有且只有3个零点，则实数k的取值范围是( )A.B.C.D.∪\n解析 当k＝时，|kx－1|＝＝作出函数y＝f(x)与y＝的图象，如图.此时两函数的图象有且只有3个交点，此时F(x)有且只有3个零点，排除B，C.当k＝－时，|kx－1|＝＝作出函数y＝的图象，如图.由图可得函数y＝f(x)的图象与y＝的图象有且只有3个交点，此时F(x)有且只有3个零点，排除A.故选D.答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知0<c<1，1>a>b>0，则下列不等式成立的是( )A.ca<cbB.<C.bac>abcD.logac>logbc解析 构造函数y＝cx，因为0<c<1，所以函数y＝cx是减函数，而a>b>0，根据指数函数的单调性得ca<cb，故A正确；由题意得＝1＋，＝1＋，因为0<c<1，1>a>b>0，所以0<<，即0<<，取倒数得>，故B错误；由题意得<，整理得bac<abc，故C错误；由已知得logac>0，logbc>0，又0<logca<logcb，所以>，则logac>logbc，故D正确.故选AD.答案 AD10.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象如图所示，则函数f(x\n)的对称中心可以为( )A. B.C.D.解析 由图象知A＝＝2，B＝＝1，又T＝2＝π，所以ω＝2.由2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)且|φ|<，得φ＝，故f(x)＝2sin＋1.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，取k＝0，有x＝－；k＝1，x＝.答案 CD11.对于函数f(x)＝，下列说法正确的是( )A.f(x)在x＝e处取得极大值B.f(x)有两个不同的零点C.f(4)＜f(π)＜f(3)D.π4＜4π解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因此f(x)在x＝e处取得极大值f(e)＝，A正确.令f(x)＝0，解得x＝1，故函数f(x)有且仅有一个零点，B错误.由f(x)在(e，＋∞)上单调递减，得f(4)＜f(π)＜f(3)，则C正确.因为f(4)＜f(π)，即＜，所以ln4π＜lnπ4，则4π＜π4，D错误.综上知，正确的为AC.答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P是双曲线C：－＝1(m>0)上任意一点，A，B是双曲线C上关于坐标原点对称的两点.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|≥t\n恒成立，且实数t的最大值为，则下列说法正确的是( )A.双曲线C的方程为－y2＝1B.双曲线C的离心率为2C.函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点D.直线2x－3y＝0与双曲线C有两个交点解析 设A(x1，y1)，P(x2，y2).由A，B是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，得B(－x1，－y1)，则－＝1，－＝1.两式相减，得＝，所以＝.又直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，所以k1k2＝×＝＝.所以|k1|＋|k2|≥2＝2，当且仅当|k1|＝|k2|时取等号.又|k1|＋|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为，所以2＝，解得m＝1.因此双曲线C的方程为－y2＝1，则A项正确.因为a＝，b＝1，所以c＝＝2，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，则B项不正确.双曲线C的左、右焦点分别为(－2，0)，(2，0)，而当x＝2时，y＝loga(2－1)＝loga1＝0，所以函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点(2，0)，则C项正确.由消去y，得x2＝－9，此方程无实数解，所以直线2x－3y＝0与双曲线C没有交点，则D项不正确.故选AC.答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和.已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为________.解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4，即(2a3－3d)2＝(a3－2d)·(4a3－2d).又a3＝5，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，解得d＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.答案 an＝2n－114.已知点E在y轴上，点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|＝12，则p＝________.\n解析 由题意知，直线EF的斜率存在且不为0，故设直线EF的方程为y＝k，与抛物线方程y2＝2px联立，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝.又F，点M为线段EF的中点，得x1＝＝.由|NF|＝x2＋＝12，得x2＝12－.由x1x2＝＝，得p＝8或p＝0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E分别为棱AA1，AB，AD的中点，以A为圆心，1为半径，分别在面ABB1A1和面ABCD内作弧MN和NE，并将两弧各五等分，分点依次为M，P1，P2，P3，P4，N以及N，Q1，Q2，Q3，Q4，E.一只蚂蚁欲从点P1出发，沿正方体的表面爬行至点Q4，则其爬行的最短距离为________.(参考数据：cos9°≈0.9877，cos18°≈0.9511，cos27°≈0.8910)解析 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E分别为棱AA1，AB，AD的中点，以A为圆心，1为半径，分别在平面ABB1A1和平面ABCD内作弧MN和NE.将平面ABCD绕AB旋转至与平面ABB1A1共面的位置，如图(1)，则∠P1AQ4＝×8＝144°，所以P1Q4＝2sin72°.将平面ABCD绕AD旋转至与平面ADD1A1共面的位置，将ABB1A1绕AA1旋转至与平面ADD1A1共面的位置，如图(2)，则∠P1AQ4＝×2＋90°＝126°，所以P1Q4＝2sin63°.因为sin63°<sin72°，且由诱导公式可得sin63°＝cos27°，所以最短距离为|P1Q4|＝2sin63°≈2×0.8910＝1.7820.\n图(1)图(2)答案 1.782016.已知函数f(x)＝若函数f(x)在R上是单调的，则实数a的取值范围是________；若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f(x1)＋f(x2)＝0，则实数a的取值范围是________(本小题第一空2分，第二空3分).解析 令x＋2＝x2，得x＝－1或x＝2.作出函数y＝f(x)的图象如图所示，若函数f(x)在R上单调，只需a≥2.若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f(x1)＋f(x2)＝0，可得x1＋2＋x＝0，即－x＝x1＋2，即有a＋2≤0，解得a≤－2.答案 [2，＋∞) (－∞，－2]限时练(五)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.\n1.复数z＝(i是虚数单位)的虚部是( )A.B.－C.iD.－i解析 z＝＝＝＋，∴z的虚部为.答案 A2.已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，则A∩B中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由≥0，得x≥2或x＜－1，则B＝{x|x≥2，或x＜－1}，∴A∩B＝{2，3}，A∩B中有2个元素.答案 B3.已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(1)＝( )A.B.C.D.解析 f(－2)＝sin＝，f(1)＝21＋1＝3.∴f(－2)＋f(1)＝3＋＝.答案 C4.在某项检测中，测量结果服从正态分布N(2，1)，若P(X<1)＝P(X>1＋λ)，则λ＝( )A.0B.2C.3D.5解析 依题意，正态曲线关于x＝2对称，又P(X<1)＝P(X>1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为36，E为棱CC1上的点，且CE＝2EC1，则三棱锥E－BCD的体积是( )A.3B.4C.6D.12\n解析 ∵CE＝2EC1，∴VE－BCD＝×××VABCD－A1B1C1D1＝×36＝4.故选B.答案 B6.函数f(x)＝x2－2ln|x|的图象大致是( )解析 f(x)＝x2－2ln|x|为偶函数，排除D.当x>0时，f(x)＝x2－2lnx，f′(x)＝2x－＝，所以当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，排除B，C，故选A.答案 A7.(2020·北京西城区二模)若向量a与b不共线，则“a·b<0”是“2|a－b|>|a|＋|b|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 设a与b的夹角是θ.若2|a－b|>|a|＋|b|，则4|a－b|2>(|a|＋|b|)2，即8a·b<3|a|2＋3|b|2－2|a||b|，所以cosθ<.又＋≥2(当且仅当|a|＝|b|时，取等号)，所以cosθ<.由a·b<0，得cosθ<0，所以“a·b<0”是“2|a－b|>|a|＋|b|”的充分不必要条件.故选A.答案 A8.若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的中心为O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于点A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积比为1∶4，则C的渐近线方程为( )A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±2xD.y＝±3x\n解析 依题意可知△AOB与△MON相似，由三角形面积比等于相似比的平方，得＝，即＝4，所以＝，所以C的渐近线方程为y＝±x.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下面四个条件中，使a>b成立的充分条件是( )A.a>b＋1B.a2>b2C.a3>b3D.lna>ln2b解析 A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分不必要条件；B项：当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；C项：a>b是a3>b3的充要条件；D项：由lna>ln2b，得a>2b>0，即有a>b.答案 ACD10.已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ可能为( )A.B.C.D.解析 ∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos≥0，sin≤0，则＋＝＋＝cos－sin＝·cos＝，∴cos＝，∴＋＝＋2kπ(k∈Z)或＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即θ＝－＋4kπ(k∈Z)或θ＝－＋4kπ(k∈Z).∵3π≤θ≤4π，∴θ＝或.故选BD.答案 BD\n11.关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为212C.存在常数项D.x3的系数为40解析 由题意可得，各项系数之和为26，故A错误；依题意，各项系数的绝对值之和为212，故B正确；由＝，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有·(－x)3和·(－x)4，结合排列组合的性质可得x3的系数为C×13×C×20×(－1)3＋C×11×C×21×(－1)4＝40，故D正确.故选BCD.答案 BCD12.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在准线l上的射影为P1，则( )A.若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设点M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥D.过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有两条解析 对于A，因为p＝2，x1＋x2＋p＝|PQ|，所以|PQ|＝8，故A正确.对于B，设点N为PQ中点，点N在准线l上的射影为点N1，点Q在准线l上的射影为点Q1，则由梯形的性质，得|NN1|＝＝＝，故B正确.对于C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确.对于D，显然直线x＝0和y＝1与抛物线都只有一个公共点.当过点M的直线的斜率存在且不为0时，设过点M的直线为y＝kx＋1(k≠0).联立得方程组消去y并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，解得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.选ABC.答案 ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.\n13.已知数列{an}满足an＝(－1)·n，设数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝________.解析 ∵an＝(－1)·n，∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝－(4k－3)－(4k－2)＋(4k－1)＋4k＝4.所以S2021＝S2020＋a2021＝505×4－2021＝－1.答案 －114.在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴正半轴为始边，终边经过点P(x0，y0)，设|OP|＝r(r>0)，定义f(θ)＝，给出四个下列结论：①方程f(θ)＝2无解；②该函数图象的一个对称中心是；③该函数的图象关于y轴对称；④该函数在区间是上为增函数.其中不正确的结论的序号是________.解析 依题意，f(θ)＝＝sinθ－cosθ＝sin，由f(θ)≤，∴f(θ)＝2无解，①正确，显然f＝≠0，且f(θ)不是偶函数，则②，③不正确，当θ∈，－≤θ－≤0，∴f(θ)在上是增函数，④正确.综上不正确的结论是②③.答案 ②③15.(2020·湖北联考)在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马这五个彩色陶俑送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为________.解析 因为索菲娅特殊，所以优先安排索菲娅，分为三类：①索菲娅有3个彩色陶俑时，有C＝4(种)送法，再将其余2个彩色陶俑送给另外2人，有A＝2(种)送法，故共有4×2＝8(种)送法.②索菲娅有2个彩色陶俑时，有C＝6(种)送法，再将其余3个彩色陶俑送给另外2人，有C·A＝3×2＝6(种)送法，故共有6×6＝36(种)送法.\n③索菲娅有1个彩色陶俑时，有C＝4(种)送法，再将其余4个彩色陶俑送给另外2人，有2种情况，“3，1”分组时，有C·A＝4×2＝8(种)送法；“2，2”分组时，有C＝6(种)送法，所以共有4×(8＋6)＝56(种)送法.综上所述，不同的送法种数为8＋36＋56＝100.答案 10016.(2020·全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.解析 在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，∴BD＝，∴FB＝BD＝.在△ACE中，∵AE＝AD＝，AC＝1，∠CAE＝30°，∴EC＝＝1，∴CF＝CE＝1.又∵BC＝＝＝2，∴在△FCB中，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－.答案 －限时练(六)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|2x2－7x－4≤0}，B＝{y|y＝2x＋1}，则A∪(∁RB)＝( )A.{x|x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|x≤0}D.解析 易知A＝，B＝{y|y＞0}.∴∁RB＝{y|y≤0}，故A∪(∁RB)＝{x|x≤4}.\n答案 A2.已知复数z＝1＋bi满足＝－i，其中为复数z的共轭复数，则实数b＝( )A.－1B.2C.1D.1或－1解析 由题意，＝1－bi，∴z·＝1＋b2，且z－＝2bi，从而由＝－i，得1＋b2＝2b，∴b＝1.答案 C3.(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P(，1)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是( )A.(－，1)B.(－1，)C.(－，1)D.(－1，)解析 由题意，得OP＝2.设∠xOP＝α，则sinα＝，cosα＝.因为将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，所以∠xOQ＝α＋，且OQ＝2.设Q(x0，y0)，则x0＝2cos＝－2sinα＝－2×＝－1，y0＝2sin＝2cosα＝2×＝.所以点Q的坐标为(－1，).故选D.答案 D4.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A.210B.180C.160D.175解析 由二项式系数的性质，得n＝10.则展开式的通项Tk＋1＝C()10－k＝(－2)kC·x5－k，令5－k＝0，∴k＝2.所以展开式中的常数项为(－2)2C＝180.答案 B5.(2020·九江一模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”\n，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为( )A.B.C.D.解析 由已知可得三枚钱币全部正面向上或反面向上的概率p＝2×＝，得到六爻实际为六次独立重复试验，∴P(x＝2)＝C××＝.故选D.答案 D6.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )A.－2B.－1C.D.解析 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2，得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.答案 B7.(2020·湘赣皖十五校联考)设F1，F2分别是双曲线－y2＝1(a>0)的左、右焦点，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点(点A，B位于y轴右侧)，且四边形OAF2B为菱形，则该双曲线的渐近线方程为( )A.x±y＝0B.x±y＝0C.x±y＝0D.3x±y＝0解析 如图，因为以F1F2为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且四边形OAF2B为菱形，所以|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|AF2|，所以△AOF2为等边三角形，∠AOF2＝60°，所以两条渐近线的斜率分别为和－，则该双曲线的渐近线方程为x±y＝0.故选B.答案 B8.(2020·北京西城区二模)设函数f(x)＝(x－1)ex.若关于x的不等式f(x)<ax－1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是( )A.(0，e]B.(0，e2]\nC.D.解析 因为f(0)＝－1，所以函数f(x)的图象与直线y＝ax－1都过定点(0，－1).f′(x)＝xex，令f′(x)＝0，得x＝0.所以当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞，f(x)→＋∞，且f(1)＝0，f(2)＝e2.在同一直线坐标系中画出函数f(x)的图象与直线y＝ax－1(a>0)(如图).因为关于x的不等式f(x)<ax－1有且仅有一个整数解，所以又a>0，所以1<a≤，则正数a的取值范围是.故选D.答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则以下结论正确的是( )A.甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mmB.乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mmC.乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定D.甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值解析 对于A，甲流水线生产的零件直径的极差为50.2－49.8＝0.4(mm)，故A正确.对于B，易得乙流水线生产的零件直径除去3个50.1与3个49.9，剩下的均为50.0，故中位数为50.0mm，故B正确.对于C，易得乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定，故C正确.对于D，计算可得甲、乙流水线生产的零件直径的平均值均为50.0mm，故D错误.故选ABC.\n答案 ABC10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是( )A.a4＝0B.Sn的最大值为S3C.S1＝S6D.|a3|<|a5|解析 设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为d的正负不清楚，所以S3可能为最大值或最小值，故B错误；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D错误.答案 AC11.(2020·济南调研)已知抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的是( )A.若AB的斜率为1，则|AB|＝4B.|AB|min＝2C.yM＝－1D.xA·xB＝－4解析 由题意，抛物线的焦点F(0，1).对于A，lAB为y＝x＋1，代入y＝消去x，得y2－6y＋1＝0.∴yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，A错.易知|AB|min＝2p＝4，B错.因为y′＝，则lAM：y＝xAx－yA，lBM：y＝xBx－yB.联立lAM与lBM，解得交点M.设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入y＝消去y得x2－4kx－4＝0，∴xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，则yM＝－＝－1.因此，CD均正确.答案 CD12.(2020·淄博调研)如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC＝l.现有以下四个结论，其中正确的为( )\nA.AD∥平面SBCB.l∥ADC.若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积D.l与平面SCD所成的角为45°解析 因为底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，所以ACBD为正方形，所以AD∥BC，又BC⊂平面SBC，AD⊄平面SBC，所以AD∥平面SBC，A正确；因为平面SAD∩平面SBC＝l，AD⊂平面SAD，AD∥平面SBC，所以l∥AD，B正确；当∠ASB≤90°时，△SAE的最大面积等于△SAB的面积，当∠ASB＞90°时，△SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90°的截面三角形的面积，所以C不正确；因为l∥AD，所以l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，就是∠ADC，易知∠ADC＝45°，所以D正确.答案 ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.(2020·湖北荆门模拟)已知a＝(1，)，b＝(0，－3)，则向量b在向量a方向上的投影为________.解析 向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝＝＝－.答案 －14.(2020·辽宁五校模拟)为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是________.解析 在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个节日中任意选取两个共有C个结果，春节、端午节都不选有C个结果，所以春节和端午节至少有一个被选中的概率p＝1－＝1－＝.答案 \n15.已知数列{an}的前n项积为Tn，若对∀n≥2，n∈N*，都明Tn＋1·Tn－1＝2T成立，且a1＝1，a2＝2，则a5＝________，数列{an}的前10项和为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 对∀n≥2，n∈N*，由Tn＋1·Tn－1＝2T，得an＋1＝2an，所以＝2，又＝2也满足上式，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a5＝1×24＝16，a1＋a2＋…＋a10＝＝210－1＝1023.答案 16 102316.(2020·中原名校联考)在三棱锥P－ABC中，点P到A，B，C三点的距离均为8，PA⊥PB，PA⊥PC，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为点O，连接AO，此时cos∠PAO＝，则三棱锥P－ABC外接球的体积为________.解析 如图，作AO的延长线交BC于点D，连接PD.∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC.∵PD⊂平面PBC，∴PA⊥PD.∵PA＝PB＝PC＝8，∴AB＝AC＝8.在Rt△PAD中，∵cos∠PAO＝＝，∴AD＝＝＝4.∵PA⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PO.∵PA∩PO＝P，∴BC⊥平面PAO.∵PD⊂平面PAO，∴PD⊥BC.∵PB＝PC＝8，∴点D为BC的中点.∴BD＝＝4，BC＝2BD＝8，∴PB2＋PC2＝BC2，∴PC⊥PB.\n构造正方体模型可知，三棱锥P－ABC外接球的半径R＝＝4，∴三棱锥P－ABC外接球的体积V＝π×(4)3＝256π.答案 256π
