高考模拟卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|3x<x＋4}，B＝{x|x2－8x＋7<0}，则A∩B＝( )A.(－1，2)B.(2，7)C.(2，＋∞)D.(1，2)解析 由题意知，A＝{x|x<2}，B＝{x|1<x<7}，则A∩B＝{x|1<x<2}.故选D.答案 D2.若i为虚数单位，网格纸上的小正方形的边长为1，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H解析 由题意知z＝－1＋i，所以＝＝＝i(－1－i)＝1－i，在复平面内的对应点为G.故选C.答案 C3.《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍寰，底面ABCD为矩形，且EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，EF＝c，则＝2时，＝( )A.B.C.D.1解析 因为＝2，所以VB－CDEF＝2VE－ABD，又VB－CDEF＝VB－EFD＋VB－CFD，且VE－ABD＝\nVB－CFD，∴VB－EFD＝VB－CFD，∴S△EFD＝S△CFD，∴EF＝CD，b＝c.故选D.答案 D4.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性.各级政府迅速反应，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属于在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有( )A.12种B.24种C.36种D.72种解析 先将医生分为三组，再进行排列，则不同的分配方案总数为CA＝36(种).故选C.答案 C5.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分值高者为优).根据测验情况绘制了如图的六大素养指标雷达图，则下列叙述正确的是( )A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析素养最差解析 由雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由上表可知应选C.答案 C6.已知A(1，1)，B(0，1)，C(1，0)，M为线段BC上一点，且＝λ，若·≥·\n，则实数λ的取值范围是( )A.B.C.D.解析 设点M(x，y)，由＝λ，得(x－1，y)＝λ(－1，1)，所以 ①.因为·≥·，所以(1－x，1－y)·(1，－1)≥(－x，1－y)·(1－x，－y)，所以1－x－1＋y≥－x＋x2－y＋y2，化简得x2＋y2－2y≤0 ②.将①代入②，得(1－λ)2＋λ2－2λ≤0，即2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋.因为M为线段BC上一点，且＝λ，所以0≤λ≤1.综上，可知1－≤λ≤1.故实数λ的取值范围是.答案 C7.已知函数f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )解析 f(x)＝＋sin＝＋cosx.所以f′(x)＝－sinx是奇函数，排除B，D.令h(x)＝－sinx，得h′(x)＝－cosx；当x∈时，cosx>，所以h′(x)<0，故函数y＝f′(x)在区间上是减函数，A项正确.答案 A8.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且|PF1|－|PF2|＝2b.设C的离心率为e，则e2＝( )\nA.B.C.D.解析 由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，过第一象限的渐近线方程为y＝x，联立得解得所以P(a，b).因为|PF1|－|PF2|＝2b，所以－＝2b，结合b2＝c2－a2，整理得c4－a2c2－a4＝0，所以e4－e2－1＝0，所以e2＝.因为e＞1，所以e2＝.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知双曲线C：x2－＝1，则( )A.双曲线C的离心率等于半焦距的长B.双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2D.直线y＝kx＋b(k，b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2解析 双曲线C：x2－＝1的焦点在x轴上，且a＝1，b＝2，c＝，渐近线方程为y＝±2x.对于A，双曲线C的离心率为＝，故A正确；对于B，双曲线y2－＝1的渐近线方程为y＝±x，与双曲线C的渐近线不相同，故B错误；对于C，双曲线C的焦点到渐近线的距离为d＝2，故C正确；对于D，直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数可能为0，1，2，故D正确.故选ACD.答案 ACD10.将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )A.g＝1B.g(x)在上单调递减\nC.直线x＝－是g(x)的图象的一条对称轴D.是g(x)图象的一个对称中心解析 由题意可得g(x)＝sin＝sin.对于A，因为g＝sin＝sin＝1，故A正确；对于B，当x∈时，2x－∈，所以g(x)在上单调递减，故B正确；对于C，法一 当x＝－时，2x－＝－，所以直线x＝－是g(x)图象的一条对称轴，故C正确；法二 令2x－＝＋kx(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，所以直线x＝－是g(x)图象的一条对称轴，故C正确；对于D，法一 当x＝时，2x－＝－，故不是g(x)图象的一个对称中心，故D错误.故选ABC.法二 令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，则g(x)图象的对称中心为(k∈Z)，故不是g(x)图象的一个对称中心，故D错误.故选ABC.答案 ABC11.已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题正确的是( )A.若a>0，b>0，则a＋b≥2B.若a＋b≥2，则a>0，b>0C.若a≠b，则a＋b>2D.若a＋b>2，则a≠b解析 对于A，由基本不等式可知，若a>0，b>0，则≥，故A正确；对于B，由有意义可得a，b不可能异号，结合≥可得a，b不会同为负值，故可得a>0，b>0，故正确；对于C，若a＝－1，b＝2，则2无意义，故错误；对于D，由a＋b>2平方可得(a－b)2>0，显然可得a≠b，故正确.故选ABD.答案 ABD12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是( )\nA.为等比数列B.{an}的通项公式为an＝C.{an}为递增数列D.的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4解析 因为＝＝＋3，所以＋3＝2，又＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；＋3＝4×2n－1，所以an＝，故B正确；由选项B可知{an}为递减数列，故C错误；的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝2×(21＋22＋…＋2n)－3n＝2×－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确.故选ABD.答案 ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线y2＝4x上到其焦点的距离为1的点的个数为________.解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，∴抛物线上的点到焦点的距离为1的点只有原点，共1个.答案 114.已知3cos2α＝4sin，α∈，则sin2α＝________.解析 由题意知3(cos2α－sin2α)＝2(cosα－sinα).由于α∈，因而cosα≠sinα，则3(cosα＋sinα)＝2，故9(1＋sin2α)＝8，sin2α＝－.答案 －15.随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则P(X＝1)＝________；若Y＝2X，则D(Y)＝________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 设P(X＝1)＝x，则P(X＝2)＝0.8－x，0<x<0.8.∴E(X)＝0×0.2＋x＋2(0.8－x)＝1.6－x，D(X)＝(x－1.6)2×0.2＋(x－0.6)2x＋(x＋0.4)2(0.8－x)＝0.4.整理，得x2－0.2x－0.24＝0，解得x＝0.6或x＝－0.4(舍去).∴P(X＝1)＝0.6.由题意易得，D(Y)＝D(2X)＝4D(X)＝1.6.答案 0.6 1.6\n16.在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为________.解析 由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.因为PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得＝2r，即＝2r，所以r＝4.设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，则R2＝＋r2＝1＋16＝17.所以外接球的表面积为4πR2＝68π.答案 68π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在条件①2cosA(bcosC＋ccosB)＝a，②csin＝asinC，③(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝，b－c＝2，________.求BC边上的高.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选①.由题设及正弦定理得2cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA，即2cosAsin(B＋C)＝sinA.因为B＋C＝π－A，所以2cosAsinA＝sinA，又因为sinA≠0，所以cosA＝.因为0<A<π，所以A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－bc＝7，联立化简得c2＋2c－3＝0.所以c＝－3(舍去)或c＝1.所以b＝3.设BC边上的高为h，所以bcsinA＝ah，所以h＝.若选②.由题设及正弦定理得sinCsin＝sinAsinC，因为sinC≠0，所以sin＝sinA，由A＋B＋C＝π，可得sin＝cos，\n故cos＝2sincos.因为cos≠0，所以sin＝，因为0<A<π，所以A＝.下同选①.若选③.由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.所以由余弦定理得cosA＝＝.又因为0<A<π，所以A＝.下同选①.18.(本小题满分12分)记数列{an}的前n项和为Sn，已知2n，an，2Sn－an成等差数列(n∈N*).(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明 由2n，an，2Sn－an成等差数列，得2an＝2n＋2Sn－an，即3an＝2n＋2Sn.①所以当n＝1时，3a1＝2＋2a1，所以a1＝2.又由①得3an＋1＝2(n＋1)＋2Sn＋1，②所以②－①得3an＋1－3an＝2＋2an＋1，即an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1).当n＝1时，a1＋1＝3，则＝3.所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以数列{an＋1}的通项公式为an＋1＝3n，所以an＝3n－1.(2)解 由(1)得bn＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝－.\n19.(本小题满分12分)某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，于2019年元旦期间90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额/元[0，15)[15，30)[30，45)[45，60)[60，75)[75，90]人数101520152010(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖的概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.附参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879解 (1)2×2列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090K2＝＝≈5.83>3.841，因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)X的所有可能取值为65，70，75，80，且p＝＝.\nP(X＝65)＝C＝，P(X＝70)＝C×＝，P(X＝75)＝C××＝，P(X＝80)＝C＝，X的分布列为X65707580PE(X)＝65×＋70×＋75×＋80×＝75.20.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.(1)证明 连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz.\n不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，B(，1，0)，B1(，3，2)，F，C(0，2，0).因此，＝，＝(－，1，0).由·＝0，得EF⊥BC.(2)解 设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得＝(－，1，0)，＝(0，2，－2).设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z).由得取n＝(1，，1)，故sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，又θ∈，所以cosθ＝.因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.21.(本小题满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解 (1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.\n当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.(1)解 f′(x)＝－a(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明 法一 因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(x)极大值＝f(1)＝－e.记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝，所以当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增.所以g(x)min＝g(1)＝－e.\n综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.法二 由题意知，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，从而等价于lnx－x＋2≤.设函数g(x)＝lnx－x＋2，则g′(x)＝－1.所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.设函数h(x)＝，则h′(x)＝.所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.
