高考模拟卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合M＝{y|y＝，x∈Z}的真子集的个数为( )A.7B.8C.31D.32解析 因为M＝{y|y＝，x∈Z}＝{0，2，}，所以集合M的真子集一共有23－1＝7(个).故选A.答案 A2.已知i是虚数单位，若复数z＝，则＝( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i解析 ∵z＝＝＝＝－i(1＋i)＝1－i，∴＝1＋i.故选B.答案 B3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A.B.C.D.解析 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，共有6×6＝36种情况，其中向上的点数之和小于5的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6种，所以向上的点数之和小于5的概率P＝＝，故选A.答案 A4.如图，已知圆柱OO1的轴截面是边长为2的正方形，A1，B1，C1是圆O1的三等分点，BB1∥AA1∥OO1，那么异面直线AC1与OB所成角的大小为( )\nA.30°B.45°C.60°D.90°解析 法一 如图，取劣弧的中点D，连接AD，易知AD∥OB，则∠C1AD或其补角为异面直线AC1与OB所成的角.连接DO并延长交圆O于点C，连接C1C，C1D，由已知易得C1C＝2，AD＝1，C1A＝，C1D＝2，所以C1A2＋AD2＝C1D2，得∠C1AD＝90°，故选D.法二 如图，取优弧的中点C，连接C1C，AC，则OB⊥AC，OB⊥CC1，故OB⊥平面AC1C，所以OB⊥AC1，所以异面直线AC1与OB所成的角为90°，故选D.答案 D5.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：根据该折线图可知，下列说法错误的是( )A.该超市2019年的12个月中7月份的收益最高B.该超市2019年的12个月中4月份的收益最低C.该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D.该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益解析 用列表法表示该超市2019年12个月的收入与支出及收益如下表：月份123456789101112收入/万元406030305060807070809080支出/万元203010202030203040504050收益/万元203020103030604030305030\n总收益/万元140240由上表可知C错误.故选C.答案 C6.某食品的保鲜时长y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时长是192小时，在22℃的保鲜时长是48小时，则该食品在33℃的保鲜时长是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时解析 由已知条件得，192＝eb，所以b＝ln192.又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192·(e11k)2，所以e11k＝＝.设该食品在33℃的保鲜时长是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.故选C.答案 C7.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，CD的中点，AF与BE相交于点M，则＝( )A.＋B.＋C.＋D.＋解析 由题意作出示意图，如图.设＝x，＝y.因为四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别为边AD，CD的中点，所以＝x＝x(＋)＝x＝＋2x.因为E，M，B三点共线，所以＋2x＝1，解得x＝.所以＝＋.故选D.答案 D8.已知函数f(x)＝若|f(x)|－ax＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )\nA.B.[0，1]C.[1，＋∞)D.[0，2]解析 由题意，知|f(x)|＝且|f(x)|≥a(x－1)恒成立，则分别作出函数y＝|f(x)|及y＝a(x－1)的图象，如图.由图知，当a<0时，不符合题意，只须考虑a≥0的情况.若a>0，则当y＝a(x－1)与y＝|f(x)|(x≥1)图象相切于点(1，0)时，|f(x)|≥a(x－1)恒成立.由导数的几何意义知，(x2－1)′|x＝1＝2×1＝2.当a＝0时，y＝a(x－1)＝0，由图知|f(x)|≥0，所以当a＝0时，|f(x)|≥a(x－1)恒成立.结合图形可知0≤a≤2.故选D.答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P，点F为双曲线C的右焦点，则下列结论正确的是( )A.双曲线C的离心率为B.双曲线C的渐近线方程为x－y＝0C.若点F到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为－＝1D.设O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则S△POF＝解析 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P，所以渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，B错误；易得＝，所以离心率e＝＝＝＝，A正确；若点F到双曲线C的渐近线的距离为，即b＝，a＝2，则双曲线C的方程为－＝1，C正确；O为坐标原点，P，若|PO|＝|PF|，则F(，0)，所以S△POF＝××＝，D错误.故选AC.答案 AC10.设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )\nA.＋有最小值4B.有最小值C.＋有最大值D.a2＋b2有最小值解析 对于A，因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以有＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时取等号)，故A正确；对于B，因为a，b是正实数，所以有1＝a＋b≥2⇒≤(当且仅当a＝b时取等号)，故B不正确；对于C，因为a，b是正实数，所有以≤＝⇒＋≤(当且仅当a＝b时取等号)，故C正确；对于D，因为a，b是正实数，所以有≤⇒a2＋b2≥(当且仅当a＝b时取等号).故D正确.故选ACD.答案 ACD11.已知函数f(x)＝sinx－cosx，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是( )A.函数f(x)的值域与函数g(x)的值域相同B.若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点C.把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象D.函数f(x)和g(x)在区间上均单调递增解析 ∵f(x)＝sinx－cosx＝sin，g(x)＝f′(x)＝cosx＋sinx＝sin，∴A正确；若x0是函数f(x)的极值点，则x0－＝kπ＋，k∈Z，即x0＝kπ＋，k∈Z，∴g(x0)＝sin＝0，k∈Z，即x0是函数g(x)的零点，∴B正确；把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可以得到函数h(x)＝sin－cos＝－cosx－sinx的图象，∴C错误；令2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，则函数f(x)在(k∈Z)上单调递增，令2kπ－<x＋<2kπ＋(k∈Z)，则函数g(x)在(k∈Z)上单调递增，∴函数f(x)和g(x\n)在区间上均单调递增，∴D正确.故选ABD.答案 ABD12.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋n－1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )A.数列{Sn＋n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C.数列{an＋1}为等比数列D.数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4解析 对于A，因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，则＝＝2，又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}的首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；对于B，由选项A可得Sn＋n＝(S1＋1)×2n－1＝2n，则Sn＝2n－n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－n)－[2n－1－(n－1)]＝2n－2n－1－1＝2n－1－1，当n＝1时不符合，故B错误；对于C，由选项B可知，an＝则an＋1＝所以数列{an＋1}不是等比数列，故C错误；对于D，因为Sn＝2n－n，所以2Sn＝2n＋1－2n，所以数列{2Sn}的前n项和为(22－2)＋(23－4)＋(24－6)＋…＋(2n＋1－2n)＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋4＋6＋…＋2n)＝－＝2n＋2－n2－n－4，故D正确.故选AD.答案 AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.解析 由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为y＝(x－1).由得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，\n所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.答案 14.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门App.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块与“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两个学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.解析 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有2A＝240(种)；若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，则学习方法有2CA＝192(种).因此共有240＋192＝432(种).答案 43215.若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________.解析 2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4].答案 (－∞，4]16.我们知道，在n次独立重复试验(伯努利试验)中，每次试验事件A发生的概率均为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B(n，p).事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P(Y＝k)＝p(1－p)k－1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得E(Y)＝.由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P(Z＝k)＝p(1－p)k－1＋(1－p)pk－1，k＝2，3，…，那么E(Z)＝________.解析 由题意可知A发生的概率为p，则发生的概率为1－p.设事件首次发生时试验进行的次数为W，则由“几何分布”的定义可知，P(W＝m)＝(1－p)pm－1，m＝1，2，3，…，所以E(W)＝.因为E(W)＝1·(1－p)p0＋2·(1－p)p＋3·(1－p)p2＋…＋m·(1－p)pm－1＋…，m\n＝1，2，3，…，E(Y)＝且E(Y)＝1·p(1－p)0＋2·p(1－p)＋3·p(1－p)2＋…＋k·p(1－p)k－1＋…，k＝1，2，3，…，所以E(Z)＝2·p(1－p)＋2·(1－p)p＋3·p(1－p)2＋3·(1－p)p2＋…＋k·p(1－p)k－1＋k·(1－p)·pk－1＋…，k＝2，3，…，即E(Z)＝E(Y)＋E(W)－1·p(1－p)0－1·(1－p)p0＝＋－p－1＋p＝－1.答案 －1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在①3asinC＝4ccosA，②2bsin＝asinB这两个条件中任选一个，补充至横线上，然后解答补充完整的问题.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________，a＝3.(1)求sinA；(2)如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积.解 选择条件①.(1)由3asinC＝4ccosA及正弦定理，得3sinAsinC＝4sinCcosA.因为sinC≠0，所以3sinA＝4cosA，9sin2A＝16cos2A，所以25sin2A＝16.因为sinA>0，所以sinA＝.(2)法一 设MB＝MC＝m，易知cos∠BMC＝－cos∠BMA＝－sinA＝－.在△BMC中，由余弦定理，得18＝2m2－2m2·，解得m＝(负值已舍去).所以S△BMC＝m2sin∠BMC＝×5×＝.在△ABM中，sinA＝，BM＝，∠ABM＝，\n则AB＝.所以S△ABM＝.所以S△ABC＝＋＝.法二 因为MB＝MC，所以∠MBC＝∠MCB.因为∠ABM＝，所以A＋2C＝，则2C＝－A，所以sin2C＝sin＝cosA.因为A为锐角，所以sin2C＝cosA＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝，所以b＝sin∠ABC，c＝sinC.所以S△ABC＝bcsinA＝×sin∠ABC×sinC×＝sinsinC＝sinCcosC＝sin2C＝.选择条件②.(1)因为2bsin＝asinB，所以2bsin＝asinB.由正弦定理，得2sinBcos＝sinAsinB.因为sinB≠0，所以2cos＝sinA，则cos＝sincos.因为cos≠0，所以sin＝，则cos＝，所以sinA＝2sincos＝.(2)同选择条件①.18.(本小题满分12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝b1＝1，an＋1＝3an－bn－3n－1，bn＋1＝3bn－an＋3n＋1.等差数列{cn}的前两项依次为a2，b2.(1)求数列{cn}的通项公式；\n(2)求数列{(an＋bn)cn}的前n项和Sn.解 (1)∵a1＝b1＝1，∴a2＝－2，b2＝6，则数列{cn}的公差d＝6－(－2)＝8.∴数列{cn}的通项公式为cn＝－2＋8(n－1)＝8n－10.(2)an＋1＝3an－bn－3n－1，①bn＋1＝3bn－an＋3n＋1，②①＋②，得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn).∵a1＋b1＝2，∴数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋bn＝2n.∴Sn＝－2×2＋6×22＋…＋(8n－10)×2n，则2Sn＝－2×22＋6×23＋…＋(8n－10)×2n＋1，∴Sn－2Sn＝－4＋8(22＋23＋…＋2n)－(8n－10)×2n＋1，即－Sn＝－4＋8(2n＋1－4)－(8n－10)×2n＋1＝(18－8n)×2n＋1－36，∴Sn＝(4n－9)×2n＋2＋36.19.(本小题满分12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：AQI[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数在[0，50]，(50，100]内的20天中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是，，，，，\n.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.解 (1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝.(2)①X的所有可能取值为0，220，1480.P(X＝0)＝P(0≤x≤100)＝＝，P(X＝220)＝P(100<x≤250)＝＝，P(X＝1480)＝P(250<x≤300)＝＝.则X的分布列为X02201480P②由①知E(X)＝0×＋220×＋1480×＝302(元)，故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X)＝9060(元).设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，则P(Y＝0)＝＋＝，P(Y＝220)＝＋＋＝，P(Y＝1480)＝.所以E(Y)＝0×＋220×＋1480×＝320(元).所以7月与8月因空气质量造成的经济损失总额为320×(31＋31)＝19840(元).因为19840＋9060＝28900>28800，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.20.(本小题满分12分)如图，P－ABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上异于A，B的点，PC垂直于圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点.\n(1)求证：DE⊥平面PAC；(2)若二面角A－DE－C是45°，AB＝PC＝4，求AE与平面ACD所成角的正弦值.(1)证明 因为AB是圆的直径，所以BC⊥AC.因为PC垂直于圆所在的平面，BC在圆所在平面内，所以PC⊥BC.又因为AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.因为D，E分别是棱PB，PC的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.(2)解 由(1)可知，DE⊥平面PAC，AE，CE⊂平面PAC，所以DE⊥AE，DE⊥EC，所以∠AEC为二面角A－DE－C的平面角，所以∠AEC＝45°，因为PC垂直于圆所在的平面，AC在圆所在平面内，所以PC⊥AC，所以AC＝EC＝PC＝2.由BC⊥AC，AB＝4，得BC＝2.以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系C－xyz，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，2)，D(，0，2)，所以＝(0，－2，2)，＝(0，2，0)，＝(，0，2).设n＝(x，y，z)是平面ACD的法向量.由得\n令x＝2，得y＝0，z＝－，所以平面ACD的一个法向量为n＝(2，0，－).所以cos〈n，〉＝＝＝－.所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.21.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线l′过定点(1，0)，求实数k的取值范围.解 (1)由题意可知得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，消去y得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即m2<4k2＋1.①由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－，则y1＋y2＝，所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－(x－1)，由点P在直线l′上，得＝－，即4k2＋3km＋1＝0，所以m＝－(4k2＋1).②由①②得，<4k2＋1.因为4k2＋1>0，所以4k2＋1<9k2，解得k<－或k>，\n故实数k的取值范围是∪.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.解 (1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0.当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；当a＜0时，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，又f(x)在上的图象是连续不间断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝－，不合题意；当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不间断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，解得a＝1.综上所述，得f(x)＝xsinx－.(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0，又f(x)在上的图象是连续不间断的，所以f(x)在内至少存在一个零点.又由(1)知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点.当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不间断的，故存在m∈，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减.当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈\n时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减.又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.
