【专项冲击波】高考数学 讲练测系列 专题14 解答题答题策略（教师版）

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题14解答题答题策略（教师版）【考纲解读】1．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．2.解答题包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，突出了中学数学的主要思想和方法,考查学生的能力与意识.【考点预测】预测今年各省市高考数学解答题,有以下几个特点:1.和前几年一样，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数与平面向量、概率统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式.2.一般来说,前三题属于中低档题,第四题属中档偏难题,后两题属难题.其中,三角函数与平面向量、概率统计、立体几何在前三题中出现的概率较高，掌握这几类题的解法是大多数学生成功的关键。【要点梳理】1.解答题主要内容有:三角函数与平面向量、概率统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式.2.解答策略：(1)审题要慢，解答要快.审题时,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识；(2)确保运算准确,立足一次成功；(3)讲究书写规范,力争既对又全,这就要求考生在面对试题时,要会而对,对而全,全而规范.(4)面对难题,讲究策略,争取多得分.解题过程在其中某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）（3）问.总之,对高三学子来说:准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！【考点在线】考点一　三角函数与平面向量三角函数的解答题是每年的必考题目，主要通过三角恒等变换考查三角函数的求值、三角函数的性质及解三角形，可能与平面向量结合在一起命题。试题呈现以下特点:(1)利用三角函数公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等)求值；（2）通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数，然后研究三角函数的性质，如：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等；（3）利用正、余弦定理及恒等变换解三角形；（4）与平面向量结合，利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换。例1.（2012年高考江苏卷15）（本小题满分14分）在中，已知．（1）求证：；（2）若求A的值．28\n【名师点睛】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件、解三角形．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。练习1:(2012年高考广东卷文科16)（本小题满分12分）已知函数，，且（1）求的值；（2）设，，，求的值.【解析】(1)由解得:A=2;(2)由得:;由=得:,又因为,所以,28\n,所以-=.考点二　概率统计例2.（2012年高考江苏卷22）（本小题满分10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．∴随机变量的分布列是：01∴其数学期望.【名师点睛】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意的取值情况，不要遗漏的取值情况．28\n【备考提示】：概率统计解答题是每年高考的必考内容，主要考查基本概念、公式，古典概型、几何概型、互斥事件的概率、抽样、平均数、方差、茎叶图、理科还考查随机变量的分布列与期望等内容，也有可能与统计知识或其它知识结合，设计比较简单。练习2：(2012年高考辽宁卷理科19)(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差附：，0.050.013.8416.635（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名28\n“体育迷”的概率为.由题意，从而的分布列为0123……10分，.……12分考点三　立体几何立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面平行与垂直的证明；另一类是空间量（理科大多考查空间角与距离的求解，文科大多考查几何体体积与面积的计算）.例3.（2012年高考江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面ADE．28\n又∵平面平面，∴直线平面.【名师点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定，同时考查空间想象能力和运算求解能力.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．【备考提示】：熟练空间线面关系的判定和性质定理是做好本类题的关键.练习3：（理科）(2012年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值。（文科）(2012年高考广东卷文科18)（本小题满分13分）28\n如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高.（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB.考点四　数列与不等式数列的解答题主要围绕三个重点：一是与关系的考查；二是等比、等差数列的综合应用；三是构造新数列的思想，一般先证明，后求通项；四是“裂项相消法”、“错位相减”求和。例4.(2012年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=28\n，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.【名师点睛】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。【备考提示】：熟练等差等比数列的通项公式与前n项和公式是解答好本类题目的关键.练习4：(2012年高考广东卷文科19)（本小题满分14分）设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.【解析】（1）当时，因为，所以，求得28\n（2）当时，考点五　解析几何解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，主要考查学生逻辑推理能力、运算能力、分析与解决问题的能力.例5.(2012年高考湖南卷文科21)（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知故椭圆Ｅ的方程为：28\n（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为，或，或，或.【名师点睛】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.【备考提示】：解决好本类题目的关键在于熟练直线、圆、圆锥的基础知识，充分运用二元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题.练习5：(2012年高考山东卷文科21)(本小题满分13分)28\n如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.由此知，当时，取得最大值.28\n综上可知，当和0时，取得最大值.考点六　函数与导数、不等式例6.(2012年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）已知a∈R，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.则有01-0+1减极小值增1所以.当时，.故.【名师点睛】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【备考提示】：28\n在求与函数或不等式有关的问题时，要充分发挥导数的工具作用，优化解题策略，简化运算过程.练习6：(2012年高考山东卷文科22)(本小题满分13分)已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.【考题回放】1.(2012年高考湖南卷文科18)（本小题满分12分）已知函数的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；28\n（Ⅱ）求函数的单调递增区间.2.(2012年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。28\n3．（文科）(2012年高考陕西卷文科19)（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率(理科)(2012年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）28\n受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.4.(文科)(2012年高考山东卷文科19)(本小题满分12分)28\n如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.(理科)(2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。28\n二面角F-BD-C的余弦值为.5.(2012年高考广东卷文科20)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：的左焦点为F1（-1,0），且点P（0,1）在C1上。（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：相切，求直线l的方程.【解析】(1)由题意知:,,所以,故椭圆C1的方程为.28\n(2)由题意知,直线l的斜率必存在，设直线l的方程为,则6.(2012年高考广东卷文科21)（本小题满分14分）设，集合，，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.28\n所以随的变化情况如下表：0↗极大值↘↗所以的极大值点为，没有极小值点②当时，由（1）知所以随的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以的极大值点为，极小值点为28\n综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点.【高考冲策演练】1．(2012年高考浙江卷文科18)（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.2.(2012年高考山东卷文科20)(本小题满分12分)已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.3.（文科）(2012年高考山东卷文科18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.28\n(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.（理科）(2012年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.【解析】（1）（2）成绩不低于分的学生有人，其中成绩在分以上（含分）的人数为,随机变量可取,28\n所以随机变量的分布列为012P所以的数学期望为.4.(文科)(2012年高考湖南卷文科19)（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】（Ⅰ）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.28\n(理科)(2012年高考辽宁卷理科18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点.(Ⅰ)证明：∥平面;(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值.【解析】（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面平面，因此……6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，于是，28\n因为为直二面角，所以，解得……12分5.(2012年高考福建卷文科21)（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。【解析】（1）依题意,设点B（x，y），则x=·=Y=·=12，∴B（，12）在抛物线上，∴=2p×12，∴p=2，抛物线E的方程为=4y（2）设点P（,）,≠0.∵Y=,,28\n6.（2012年高考江苏卷18）（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数．先讨论关于的方程根的情况：28\n当时，由（2）可知，的两个不同的根为I和一2，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2.当时，∵，，∴一2,－1，1，2都不是的根.由（1）知.①当时，，于是是单调增函数，从而,此时在无实根.②当时．，于是是单调增函数,又∵，，的图象不间断，∴在（1,2）内有唯一实根.同理，在（一2，一I）内有唯一实根.③当时，，于是是单调减两数,又∵，，的图象不间断，∴在（一1，1）内有唯一实根.28\n28