【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06不等式（教师版）【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。【要点梳理】1.不等式的性质与证明：(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。2.不等式的解法:(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.【考点在线】26\n考点一 不等式的性质例1.(天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科)设a，bR，那么“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.【备考提示】不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考，不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.练习1:(2012年高考湖南卷文科7)设a＞b＞1，，给出下列三个结论：①＞；②＜；③，其中所有的正确结论的序号是。A．①B.①②C.②③D.①②③考点二 基本不等式的应用例2.(2012年高考浙江卷文科9)若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A.B.C.5D.6【答案】C26\n【解析】x+3y=5xy，，.【名师点睛】本小题考查了基本不等式的应用，以及“1”的代换.【备考提示】熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键.练习2:(2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．考点三 解不等式高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想．转化的方法是:超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法．例3.（2012年高考江苏卷13）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为．26\n【名师点睛】本题考查一元二次不等式的解法,关键是二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.【备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式.练习3：(2012年高考重庆卷理科2)不等式的解集为()考点四 线性规划线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.例4.(2012年高考广东卷文科5)已知变量x,y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为()A.3B.1C.-5D.-626\n【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题.【备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可.练习4：(2012年高考山东卷理5文6)设变量满足约束条件，则目标函数z=3x-y的取值范围是()（A）（B）（C）[-1,6]（D）考点五不等式的证明高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.例5.已知a，b∈R，且a+b=1.求证：26\n证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数,也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.证法二：（放缩法）∵,∴左边＝＝右边证法三：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边当且仅当t=0时，等号成立.证法四：（判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故.【名师点睛】：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【备考提示】：证明不等式的方法有许多，关键是靠平常的善于总结.练习5：已知，求证：≥．【考题回放】1.(2012年高考北京卷文科1)已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=()26\nA．（-，-1）B．（-1，-）C．（-,3）D．(3,+)2.（2012年高考辽宁卷文科9）设变量x，y满足则2x+3y的最大值为()(A)20(B)35(C)45(D)553.（2012年高考新课标全国卷文科5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是()（A）(1－，2)（B）(0，2)（C）(－1，2)（D）(0，1+)26\n所以，即代入直线得，所以的取值范围是，选A.4.(2012年高考湖北卷文科9)设a,b,c,∈R,,则“abc=1”是“+”的()A.充分条件但不是必要条件，B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件5.(2012年高考重庆卷文科7)已知，，则a,b,c的大小关系是()（A）（B）（C）（D）6.(2012年高考重庆卷文科10)设函数集合则为()（A）（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）26\n所以或；由得即所以故7．（北京市丰台区2013年1月高三上学期期末文3)“”是“”的()(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件8.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文)下列命题中，正确的是()A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)下列三个不等式中，恒成立的个数有()①②③.A．3B.2C.1D.010.(北京市东城区普通校2013届高三11月联考文）某企业投入100万元购入一套设备．该26\n设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.A.10B.11C.13D.2111.(天津市天津一中2013届高三上学期一月考文)，，则与的大小关系为（）A.B.C.D.12.(2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为()（A）[-5.7]（B）[-4,6]（C）（D）26\n和数轴的点与点(-3)的距离之和,其距离之和的最小值为8,结合数轴,选项D正确.13．(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（）A．3B．4C．D．14.（2011年高考福建卷文科10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在处有极值，则的最大值等于()A.2B.3C.6D.926\n15.(北京市石景山区2013年1月高三上学期期末文科9)不等式的解集为.16.(2012年高考福建卷文科15)已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.17.(2012年高考湖北卷文科14)若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是________.18.(天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科)若关于x的不等式26\n对任意在上恒成立，则实常数的取值范围是；，二次函数开口向上，且对称轴为.当时，函数单调递减，要使不等式恒成立，则有，解得.当，左边的最小值在处取得，此时，不成立，综上的取值范围是，即.19．（2011年高考江西卷文科15)对于，不等式的解集为_ ____ __.20.（2011年高考海南卷文科14)若变量满足约束条件,则的最小值为.【答案】-6【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6.21．（2011年高考浙江卷文科16)若实数满足，则26\n的最大值是.22.(2011年高考天津卷文科12)已知,则的最小值为.【答案】18【解析】因为,所以,所以=18.【高考冲策演练】一、选择题：1.(北京市朝阳区2013届高三上学期期末文5)已知，，且，则的最大值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即取等号，所以选B.2.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理)已知向量==,若，则的最小值为()A．B．C．D．26\n4.(2012年高考天津卷文科5)设xR，则“x>”是“2x2+x-1>0”的()（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5.(2012年高考全国卷文科11)已知，，，则()（A）（B）（C）（D）6.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)设变量，满足约束条件26\n，则目标函数的最小值为()A．B．C．D．截距最小，此时最小。由,解得，即，代入得，所以最大值为3，选B.7.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)设若的最小值()A．B．C．D．826\n8.(山东省临沂市2013届高三上学期期中考试文)若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为()A．4B．1C．2D．39.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)设x、y满足则()A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最大值D．既无最小值，也无最大值10.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文7)若实数满足不等式组则的最大值是()26\nA．11B．23C．26D．3011.（2011年高考四川卷文科10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润()（A）4650元（B）4700元(C)4900元（D）5000元26\n12．（2011年高考湖南卷文科3)的()A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件二．填空题：13.(山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）若实数满足，则的值域是.26\n14.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知，则的最小值是.15．(2012年高考江西卷文科11)不等式的解集是___________。16．(2012年高考天津卷文科14)已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是.【答案】或。26\n三．解答题：17．(天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理)已知函数f（x）=x+2x+a.（1）当a=时，求不等式f（x）>1的解集；（4分）（2）若对于任意x∈[1，+），f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；（6分）26\n即有a>-x-2x,5分令g（x）=-x-2x因为对称轴为x=-17分所以当x=1时，g（x）=-39分∴a>-310分18．(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)（本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式.19.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文)（本小题满分12分）已知是实数，试20.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测理）（本题满分12分）26\n如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米。（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。【解析】21.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理)（本小题满分12分）已知是三次函数的两个极值点，且,,求动点所在的区域面积.26\n22．(2012年高考浙江卷理科22)(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ)＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ)若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。26\n26\n26
