【专项冲击波】高考数学 讲练测系列 专题07 立体几何（文）（教师版）

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题07立体几何（文）（教师版）【考纲解读】1.掌握平面的基本性质(三个公理、三个推论)，理解确定平面的条件；会用字母、集合语言表示点、直线、平面间的关系.2.理解线线、线面平行的定义;熟练掌握线线、线面及面面平行的判定和性质;会运用线线、线面及面面平行的判定和性质进行推理和证明.3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会画它们的直观图.4．理解空间中线线、线面垂直定义及分类；理解空间中线线、线面、面面垂直的有关定理及性质；会运用线面平行与垂直的判定与性质定理进行证明和推理.5．认识柱、锥、台、球及简单几何体的结构特征,并运用这些特征描述简单物体的结构;了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式(不要求记忆).【考点预测】1.对于空间几何体中点、线、面的位置关系及平行与垂直的性质和判定，高考中常在选择题中加以考查.解答题主要考查空间几体的点、线、面的位置关系的证明及探索存在性问题，着重考查学生的空间想象能力、推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力，难度中等.明年高考将仍以平行与垂直关系的证明探究为重点,注意命题题型的多样化、新颖化，如开放性、探索存在性题型.2.三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查了学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及性质的基本能力，是每年高考必考内容，明年高考仍以三视图，空间几何体的表面积与体积为重点，在客观题中加以考查，其中表面积与体积也可能在解答题题后一问中出现。【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:;锥体的体积公式:;台体的体积公式:;球的体积公式:.(2)球的表面积公式:.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理.【考点在线】考点一　三视图28\n例1.(2012年高考陕西卷文科8)将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）【答案】B【解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中的正投影是正方形的对角线（实线），的正投影被遮住是虚线，所以B正确.【名师点睛】本题考查空间图像的直观图与三视图，考察空间想象能力与逻辑推理能力，注意培养.【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键.练习1:(2012年高考福建卷文科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【答案】D【解析】圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆.考点二　表面积与体积例2.(2012年高考北京卷文科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）28\n（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【备考提示】表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.练习2：(2012年高考天津卷文科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积.28\n考点三　球的组合体例3.(2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）【答案】A【解析】的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为,此棱锥的体积为.另：排除.【名师点睛】本小题考查三棱锥的外接球体积的求解,关键是找出球的半径.28\n【备考提示】球的组合体,在高考中,经常考查球与长方体、正方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆柱等的组合，熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键.练习3：（2012年高考辽宁卷文科16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.例4.（2012年高考江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面ADE．【解析】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面,又∵平面，∴,又∵平面，∴平面,又∵平面，∴平面平面.28\n【名师点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．【备考提示】熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键.练习4.(2012年高考山东卷文科19)(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.28\n【考题回放】1.(2012年高考浙江卷文科5)设是直线，a，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若∥a，∥β，则a∥βB.若∥a，⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，⊥a，则⊥βD.若a⊥β,∥a，则⊥β2．(2012年高考广东卷文科7)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A.72πB.48πC.30πD.24π3.(2012年高考浙江卷文科3)已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）28\n4.（2012年高考新课标全国卷文科7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）5.（2012年高考新课标全国卷文科8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）（A）π（B）4π（C）4π（D）6π28\n6.(2012年高考湖南卷文科4)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）7.(2012年高考全国卷文科8)已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为（）（A）（B）（C）（D）28\n过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D.。8.(2012年高考重庆卷文科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，，，9.(2012年高考四川卷文科10)如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（）A、B、C、D、28\n10．（2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）12．（2011年高考海南卷文科第8题）28\n在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（）13.(2012年高考湖北卷文科15)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.DABC14．（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体中，，，28\n则四棱锥的体积为cm3.15．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文）正三棱锥内接于球，且底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为．28\nAM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．16．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文）如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，、、分别为、、中点，。平面平面28\n平面（3）17．(2012年高考福建卷文科19)（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。（1）求三棱锥A-MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。28\n18．(2012年高考北京卷文科16)（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。【高考冲策演练】一、选择题：1．(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）对于直线m，n和平面，有如下四个命题：28\n（1）若（2）若（3）若（4）若其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】（1）错误。（2）当时，则不成立。（3）不正确。当有，又所以有，所以只有（4）正确。选A.2.(北京四中2013届高三上学期期中测验文）设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若.那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题3.(2012年高考四川卷文科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.(2012年高考江西卷文科7)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）28\nA．B.5C.4D.5.(云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文)一个几何体的三视图如图1所示，其28\n6．（山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试）设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是（）A.若B.若C.若D.若7．（山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是（）A.①B.②C.③D.④8.（2011年高考浙江卷文科4)若直线不平行于平面，且，则（）(A)内的所有直线与异面(B)内不存在与平行的直线(C)内存在唯一的直线与平行(D)内的直线与都相交9．（2011年高考重庆卷文科10)高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为（）A．B．C．D．28\n【答案】A10．（2011年高考湖北卷文科7)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()A.V1比V2大约多一半B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半11.（2011年高考山东卷文科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12．（云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面28\n二．填空题：13．（2012年高考辽宁卷文科13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.14.(2012年高考上海卷文科5)一个高为2的圆柱，底面周长为28\n，该圆柱的表面积为.【答案】【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.15.(2012年高考山东卷文科13)如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.16.(2012年高考四川卷文科14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。三．解答题：17．（2012年高考辽宁卷文科18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱，，AA′28\n=1，点分别为和的中点。(Ⅰ)证明：∥平面;(Ⅱ)求三棱锥的体积。（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）18.(2012年高考湖南卷文科19)（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.28\n[中国^教*~育出#版%19．（云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文）（本题满分12分）28\n如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．28\n20．(2012年高考湖北卷文科19)（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？【解析】(1)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2全等的矩形，所以⊥AB,⊥AD,又因为,所以⊥平面ABCD,连结BD,因为BD平面ABCD,所以⊥BD,因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD,根据棱台的定义可知,BD与共面,28\n21.（2012年高考新课标全国卷文科19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点.(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.CBADC1A128\n图522．(2012年高考广东卷文科18)如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高.（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB.所以DQ⊥平面PAB,因为EF∥DQ，所以EF⊥平面PAB.28