【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题03数列（教师版）【考纲解读】1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.【考点预测】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.23\n7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【要点梳理】1.证明数列是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：为常数；（2）等差中项法：.2.证明数列是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：(非零常数)；（2）等差中项法：.3.常用性质:(1)等差数列中,若,则;(2)等比数列中,若,则.4.求和:(1)等差等比数列,用其前n项和求出;(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法;(3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质.【考点在线】考点1等差等比数列的概念及性质在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则.（2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列.23\n（4）在等差数列中，；.在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.例1.（2012年高考安徽卷文科5）公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且，则=（）（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】A【解析】因，，所以，故，选A。【名师点睛】本题考查等比数列的性质，等差等比数列的性质是高考的重点内容之一，高考必考。【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.练习1:（山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63考点2数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项.再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题.23\n例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n ≥1),则a6=()（A）3×44（B）3× 44+1(C)44（D）44+1【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点.练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为（）（A）2（B）4（C）8（D）16【答案】B【解析】设公比是q，根据题意a1a2=16①，a2a3=162②，②÷①，得q2=16.因为a12q=16>0,a12>0，则q>0，q=4.考点3数列的通项公式与前n项和公式的应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.例3.（山东省临沂市2013届高三上学期期中考试文）已知数列=（）A．4B．2C．1D．-223\n【名师点睛】本题考查已知前n项和与的关系式，求数列中的项，考查分析问题以及解决问题的能力.【备考提示】：数列的通项公式是高考的热点内容之一,年年必考,必须熟练其公式.练习3.(2012年高考新课标全国卷理科16)数列满足，则的前项和为.【答案】【解析】可证明：.考点4.数列求和例4.(2012年高考全国卷理科5)已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列裂项求和等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键.练习4.(2012年高考浙江卷文科19)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.23\n（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.考点5等差、等比数列的综合应用解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例5．(2012年高考湖北卷理科18)已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项的和.23\n当时,分别为,成等比数列,满足条件,所以【名师点睛】本小题考查等差数列的通项公式的求解,考查等比数列等基础知识,考查分类讨论的数学思想方法,考查同学们运用所学知识分析问题和解决问题的能力.【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键.练习5.(2012年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。【考题回放】1.（2012年高考辽宁卷文科4）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）(A)12(B)16(C)20(D)2423\n【答案】B【解析】，故选B。2．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，＝（）A．9B．8C．7D．63．（山东省师大附中2013届高三上学期期中考试文）在等比数列（）A.B.4C.D.5【答案】B【解析】因为，因为，又，所以，选B.4．(2012年高考福建卷理科2)等差数列中，，则数列的公差为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.5.(2012年高考新课标全国卷理科5)已知为等比数列，，，则（）23\n.6．(2012年高考浙江卷理科7)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的nN*，均有Sn＞0D．若对任意的nN*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列【答案】C【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn＞0不成立．7.(2012年高考辽宁卷理科6)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）(A)58(B)88(C)143(D)176【答案】B【解析】在等差数列中，，答案为B8．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文）已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值（）A.16B.8C.D.4【答案】B【解析】由题意知，即。所以设公比为，所以，当且仅当，即23\n，所以时取等号，所以最小值为8，选B.9．（山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）数列中，，则等于（）A．B．C．1D．10．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知等比数列的前项和为，，则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，当时，，因为是等比数列，所以有，解得，选C.11．（山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考文）已知为等差数列，为等比数列，其公比q≠1且，,若，则（）A.B.C.D.12．（北京四中2013届高三上学期期中测验文）是等差数列的前项和，若，则23\n（）A.15B.18C.9D.12【答案】D【解析】在等差数列中，所以，所以，选D.13．(2011年高考安徽卷文科7)若数列的通项公式是,则（）（A）15(B)12(C)(D)14.(2012年高考湖北卷文科7)定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为()A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】C【解析】若数列{an}是等比数列，则数列也是等比数列,故①是“保等比数列函数”;同理③对应的函数也是等比数列,故选C.15.（2012年高考辽宁卷文科14）已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（an+an+2）=5an+1,则数列｛an｝的公比q=_____________________.【答案】2【解析】因为数列为递增数列，且16.（2012年高考新课标全国卷文科14）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比23\nq=_______【答案】17.(2012年高考湖南卷文科16)对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.18.(2012年高考江西卷文科13)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。【答案】11【解析】由已知可得公比q=-2，则a1=1可得S5。19.(2012年高考上海卷文科7)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则.【答案】23\n【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，.20．(2012年高考山东卷文科20)已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.【高考冲策演练】一、选择题：1.（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文）等差数列中，如果，，则数列前9项的和为（）A.297B.144C.99D.66【答案】C【解析】由，得。由，德。所以，选C.2.（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文）已知正项等比数列满足：23\n，若存在两项使得，则的最小值为（）A.B.C.D.不存在3.（山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文）等差数列的前n项和为，若，则等于（）52545658【答案】在等差数列中，，所以。选A.4.（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考文）公差不为零的等差数列的前项和为。若是与的等比中项，，则等于（）A.18B.24C.60D.90【答案】C【解析】因为是与的等比中项，所以，又，即，解得，所以，选C.5.（山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）设等比数列中，前n项和为,已知，则（）23\nA.B.C.D.6．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文）在各项均为正数的等比数列中，则（）A．4B．6C．8D．【答案】C【解析】在等比数列中，，所以，选C.7.（山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）已知中，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=（）A.B.C.D.8.(2012年高考全国卷文科6)已知数列的前项和为，，，,则（）（A）（B）（C）（D）23\n9.(2012年高考四川卷文科12)设函数，是公差不为0的等差数列，，则（）A、0B、7C、14D、21【答案】D【解析】∵是公差不为0的等差数列，且∴∴∴10．（2012年高考新课标全国卷文科12）数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（）（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830于是23\n11.(2012年高考四川卷理科12)设函数，是公差为的等差数列，，则（）A、B、C、D、12．(2012年高考北京卷文科6)已知为等比数列，下面结论种正确的是（）（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2二．填空题：13．(2012年高考广东卷文科12)若等比数列{an}满足，则。【答案】【解析】因为是等比数列,所以,所以=.14．(2012年高考北京卷文科10)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。【答案】，23\n【解析】因为，所以，。15.(2012年高考重庆卷文科11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和【答案】15【解析】16.(2012年高考上海卷文科14)已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是.三．解答题：17.(2012年高考浙江卷文科19)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=，得当n=1时，；当n2时，，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.23\n18．(2012年高考山东卷文科20)(本小题满分12分)已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.19．(2012年高考广东卷理科19)（本小题满分14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列。（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式.（3）证明：对一切正整数n，有.23\n20．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文）已知数列的前项和为，且有，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和为．【答案】解：（Ⅰ），，．又，，．…………………………………………………………（5分）23\n（Ⅱ），，．两式相减得：，，．………………………（12分）21．（山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）（本小题满分12分）已知数列，满足条件：，．（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并求使得对任意N*都成立的正整数的最小值．∴N*，即数列是递增数列． 23\n∴当时，取得最小值．…………10分要使得对任意N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5． …………12分22．（山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考文）在数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ）设数列满足，求的前n项和.两式①-②相减得23\n=.………………………………………………………………………13分∴.………………………………………………………14分.23
