【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题02函数与导数（教师版）【考纲解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型.6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数且与对数函数且互为反函数.7.了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况.8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题.【考点预测】1.32\n对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查，渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.3.由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.4.函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有机结合体现了高考命题的趋势.5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵活,它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其含义并能准确进行知识的应用.6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.【要点梳理】1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等；解决实际应用题的一般步骤是：分析实际问题，找出自变量，写出解析式，确定定义域，计算.2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系.3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的高度重视.4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，应熟练掌握.函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点，应认真研究、熟练掌握.5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值，常与导数结合在一起考查，是高考的常考点.6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础，掌握其单调性、奇偶性，通过图象进行判断和应用,常与导数结合在一起考查.7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查，它主要结合导数的应用进行考查.8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查.9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一.10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间,令导数小于0,解得减区间.11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性；（3）确定极值点；（4）求出极值.12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.【考点在线】考点一 函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.32\n例1．(2012年高考山东卷文科3)函数的定义域为（）(A)(B)(C)(D)【名师点睛】本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.【备考提示】明确定义域的求法是解答好本题的关键.练习1:（山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中）函数的定义域是。【答案】【解析】要使函数有意义则有，，即，所以函数的定义域为.考点二 函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例2．(2012年高考天津卷文科6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为()（A）y=cos2x，xR（B）y=log2|x|，xR且x≠0（C）y=，xR（D），xR【名师点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性,对奇偶性,要先求其定义域.【备考提示】：熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.32\n练习2:(2012年高考广东卷理科4)下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是()A.y=ln（x+2）B.y=-C.D.y=x+【答案】A【解析】对A,在定义域上是增函数,故选A.例3．(2012年高考山东卷理科8)定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=()（A）335（B）338（C）1678（D）2012掌握.练习3:(2012年高考浙江卷文科16)设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则=_______________。【答案】【解析】.考点三 函数的图象函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例4.(2012年高考山东卷文科10)函数的图象大致为()【答案】D32\n【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令得，所以，，函数零点有无穷多个，排除C,且轴右侧第一个零点为，又函数为增函数，当时，，，所以函数，排除B，选D.【名师点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.【备考提示】：函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判断法等)是答好这类问题的关键.练习4:(山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文)函数的图像大致是()A．B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，综上可知选A.考点四 导数的概念、运算及几何意义了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例5．（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________32\n练习5:(山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.考点五 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.例6．(北京市东城区普通校2013届高三11月联考文）已知．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若求函数的单调区间；（Ⅲ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．32\n32\n令，得（舍）当时，；当时，当变化时，变化情况如下表：+-单调递增-2单调递减32\n∴当时,取得最大值,=-2∴的取值范围是.………14分【名师点睛】利用导数研究函数的单调性、求一个函数的极大或极小值、最大或最小值、解决实际应用问题等，这都是高考的热点，一般出现在解答题中，综合性较强．【备考提示】：导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须加强这方面的熟练掌握.练习6:(2012年高考山东卷文科22)已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.所以.32\n综上，对任意，.考点六 函数的应用建立函数模型，利用数学知识解决实际问题.例7.（2012年高考江苏卷17）（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标.【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中，同时还考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力.32\n【备考提示】：近几年的高考,函数与导数的综合应用一直是解答题中的较难题,导数在实际问题中的优化问题是导数的重点内容,注重基础知识的落实是根本.练习7:（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文）(本小题满分12分)为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.（1）求函数的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？当时，（元）………10分32\n，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.………12分考点七（理科） 定积分例8.(2012年高考湖北卷理科3)已知二次函数y=f(x)的图像如图所示，则它与X轴所围图形的面积为()【名师点睛】本小题考查利用定积分求平面图形的面积问题,考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力,难度不大,求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。.定积分是理科生高考的热点分问题之一,几乎年年必考.【备考提示】：定积分在高考中一般以选择或填空题的形式考查一个题,难度不大,所以在复习中注重基础知识的落实是解答好本类题目的关键.练习8:(2012年高考山东卷理科15)设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。【答案】【解析】，解得.【考题回放】1.(山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为()Ay=cos2x，xRB.y=log2|x|，xR且x≠032\nC.y=，xRD.，xR【答案】B【解析】A,B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，排除C,D.当时，单调递增，选B.2.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）函数的定义域为()A.B.C.D.3.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是A.0.76＜log0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log0.76C.log0.76＜60.7＜0.76D.【答案】D【解析】,,，所以，选D.4.（2012年高考辽宁卷文科8）函数y=x2㏑x的单调递减区间为()（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B【解析】故选B.5.（2012年高考新课标全国卷文科11）当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是()（A）(0，)（B）(，1)（C）(1，)（D）(，2)32\n【答案】B【6．(2012年高考北京卷文科5)函数的零点个数为()（A）0（B）1（C）2（D）37.(2012年高考全国卷文科11)已知，，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，，，，所以，选D.8.(2012年高考四川卷文科4)函数的图象可能是（）32\n【答案】C【解析】采用特殊值验证法.函数恒过（1,0），只有C选项符合.9.(2012年高考浙江卷文科10)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A.若ea+2a=eb+3b，则a＞bB.若ea+2a=eb+3b，则a＜bC.若ea-2a=eb-3b，则a＞bD.若ea-2a=eb-3b，则a＜b10.(2012年高考湖北卷文科3)函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为()A2B3C4D5[11．(2012年高考湖北卷文科6)已知定义在区间（0，2）上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为()32\n【答案】B【解析】y=-f(2-x)的图像是由原函数y=f(x)的图像先关于原点的对称图象得到y=-f(-x)的图像，再向右平移2个单位得到,故选B.12.（2012年高考安徽卷文科3）（）（A）（B）（C）2（D）413.(2012年高考湖南卷文科7)设a＞b＞1，，给出下列三个结论：[www.z#zste&*p~.c@om]①＞；②＜；③，其中所有的正确结论的序号是()A．①B.①②C.②③D.①②③14.(2012年高考湖南卷文科9)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为()A.2B.4C.5D.8【答案】Ｂ【解析】由当x∈（0，π）且x≠时，，知32\n又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为4个.15.(2012年高考重庆卷文科7)已知，，则a,b,c的大小关系是()（A）（B）（C）（D）16.(2012年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）已知a∈R，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.【解析】（1）由题意得，当时，恒成立，此时的单调递增区间为.当时，，此时函数的单调递增区间为.32\n17.(2012年高考湖南卷文科22)（本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中国^教育出版&网~]（1）若对一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；[z（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1,f(x1)）,B(x2,f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.【解析】解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当 . ①令则32\n【高考冲策演练】一、选择题：1.(2012年高考天津卷文科4)已知a=21.2，b=-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）（A）c<b<a（B）c<a<bC）b<a<c（D）b<c<a【答案】A【解析】因为，所以，，所以32\n，选A.2.(2012年高考陕西卷文科9)设函数f（x）=+lnx则（）A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点【答案】D3.(2012年高考江西卷文科3)设函数，则f（f（3））=（）A.B.3C.D.【答案】D【解析】考查分段函数，f（3）=，f（f（3））=f（）=4.(2012年高考福建卷文科9)设,则f(g(π))的值为（）A1B0C-1D.π【解析】因为g（π）=0所以f（g（π））=f（0）=0。B正确【答案】B5.(山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考文）函数的零点所在的区间是（）A.B.C.（1，e）D.【答案】A【解析】函数在定义域上单调递增，，所以选A.6.（山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考文）函数，则的图象只可能是（）32\n7.（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文）某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A.45.606B.45.6C.45.56D.45.518.(2012年高考重庆卷文科8)设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）【答案】：C32\n【解析】：由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时9.(2012年高考福建卷理科7)设函数，则下列结论错误的是（）A．的值域为B．是偶函数C．不是周期函数D．不是单调函数10.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)设函数定义在实数集R上，，且当时=，则有()A．B．C．D．32\n①在上的图像时连续不断的；②在上具有性质；③若在处取得最大值1，则，；④对任意，有。其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④.32\n12．(天津市天津一中2013届高三上学期一月考文)函数的图象是（）【答案】A【解析】函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除B,D.又，所以，排除C，选A.二．填空题：13.(2012年高考广东卷文科11)函数的定义域为__________。【答案】【解析】要使函数有意义,须满足且,解得定义域为.14.(2012年高考山东卷文科15)若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.15.（2012年高考新课标全国卷文科16）设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____【答案】2【解析】，令，则32\n为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即，而，，所以.16.（文科）（2012年高考安徽卷文科13）若函数的单调递增区间是，则=________.【答案】【解析】由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得。（理科）(2012年高考上海卷)已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为.三．解答题：17．(2012年高考重庆卷文科17)已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因故由于在点处取得极值,故32\n18.(2012年高考辽宁卷理科21)(本小题满分12分)设，曲线与直线在(0，0)点相切。(Ⅰ)求的值。(Ⅱ)证明：当时，。因此在内是减函数，又由，得，32\n19.在某产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x，已知其中x为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A元，但每生产出一件次品就要损失元.(1)将该厂的日赢利额T（元）表示为日产量x（个）的函数，并指出这个函数的定义域;(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？20．(2012年高考北京卷理科18)（本小题共13分）已知函数，.32\n（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.当时，最大值为；当时，最大值为．21．（2012年高考江苏卷18）（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；32\n（3）设，其中，求函数的零点个数．此时在无实根.②当时．，于是是单调增函数,又∵，，的图象不间断，∴在（1,2）内有唯一实根.32\n同理，在（一2，一I）内有唯一实根.综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点.22.(2012年高考全国卷理科20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数。（1）讨论的单调性；（2）设，求的取值范围.32\n由得。所以当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数.（Ⅱ）因为另解：由恒成立可得令，则当时，，当时，又，所以，即32\n故当时，有（lbylfx）32
