课时作业(三十三) 数列求和解答题1．(2013·江西)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝，Tn＝＝＝.2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求使得Sn>21－2n成立的最小整数n.解：(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)．∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，公比为2的等比数列．∴an＋1－an＝3·2n－1.∴当n≥2时，an－an－1＝3·2n－2，an－1－an－2＝3·2n－3，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3.累加，得an－a1＝3·2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)．∴an＝3·2n－1－2，又当n＝1时，也满足上式，∴数列{an}的通项公式为an＝3·2n－1－2，n∈N*.(2)由(1)利用分组求和法，得Sn＝3(2n－1＋2n－2＋…＋2＋1)－2n＝3(2n－1)－2n.由Sn＝3(2n－1)－2n>21－2n，得5\n3·2n>24，即2n>8.∴n>3，∴使得Sn>21－2n成立的最小整数n＝4.3．(2015·山东威海一模)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝a＋4an＋3，且a2是a1和a7的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2，求数列{bn}的前99项和．解：(1)∵8Sn＝a＋4an＋3，①∴8Sn－1＝a＋4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，②由①－②得8an＝(an－an－1)(an＋an－1)＋4an－4an－1，整理得(an－an－1－4)(an＋an－1)＝0(n≥2，n∈N*)．∵{an}为正项数列，∴an＋an－1＞0，∴an－an－1＝4(n≥2，n∈N*)．∴{an}为公差为4的等差数列．由8a1＝a＋4a1＋3，得a1＝3或a1＝1.当a1＝3时，a2＝7，a7＝27，不满足a2是a1和a7的等比中项；当a1＝1时，a2＝5，a7＝25，满足a2是a1和a7的等比中项．∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3.(2)由an＝4n－3，得bn＝log2＝log2，∴b1＋b2＋b3＋…＋b99＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＝log2＝log2＝－log2100.4．(2015·湖北八校第一次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＋a4＝18，S7＝91.递增的等比数列{bn}前n项和为Tn，满足：b1＋bk＝66，b2bk－1＝128，Tk＝126.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对∀n∈N*，均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2013.解：(1)由题意知，解得a3＝9，a4＝13，则an＝4n－3.5\n∵b2bk－1＝b1bk，∴b1，bk是方程x2－66x＋128＝0的两根，得b1＝2，bk＝64，∵Sk＝＝＝126，将b1＝2，bk＝64代入求得q＝2，∴bn＝2n.(2)由＋＋…＋＝an＋1，＋＋…＋＝an(n≥2)，相减，得＝an＋1－an＝4，∴两式cn＝4bn＝2n＋2(n≥2)，又＝a2，解得c1＝10，∴cn＝∴c1＋c2＋…＋c2013＝10＋24＋25＋…＋22015＝22016－6.5．已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”．(1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)qn＝当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列．当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，所以数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．综上，当b＝0时，{qn}是等差数列；5\n当b≠0时，{qn}不是等差数列．(3)pn＝当n>1时，Tn＝3＋(3×2＋3)＋(3×22＋5)＋…＋(3×2n－1＋2n－1)，∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.又n＝1时，T1＝3，适合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4.6．(2015·潍坊模拟)已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn＝(n∈N*)，cn＝anbn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求证：cn＋1≤cn；(3)求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)∵a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d>0，∴a3＝5，a5＝9，公差d＝＝2.∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1.又当n＝1时，有b1＝S1＝，∴b1＝，当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)，∴＝(n≥2)，∴数列{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列，∴bn＝b1qn－1＝.(2)证明：由(1)知，cn＝anbn＝，cn＋1＝，∴cn＋1－cn＝－＝≤0.∴cn＋1≤cn.(3)cn＝anbn＝，5\n∵Tn＝＋＋＋…＋＋，①∴Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋2－，化简，得Tn＝1－×－＝1－.5
