课时作业(三十一) 等差数列及其前n项和一、选择题1．(2015·宁德模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝1，a4＝5，则S5等于( )A．7B．15C．30D．31答案B解析：解法一：由等差数列通项公式，得5＝1＋2d，d＝2，a1＝－1，S5＝15.解法二：S5＝＝＝＝15.2．已知{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝( )A．11B．20C．19D．21答案：C解析：由<－1，得<0，又它的前n项和Sn有最大值，则a10>0，a11<0，a11＋a10<0，则S19>0，S20<0，那么当Sn取得最小正值时，n＝19，故应选C.3．(2015·威海模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，则a5＋a6＝( )A.B．12C．6D．答案：A解析：S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)＝3＋32－(0＋02)＝12，而S10＝＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＝12，∴a5＋a6＝.故应选A.5\n4．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于( )A．7B．C．D．答案：D解析：＝＝＝＝＝.故应选D.5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是( )A．7层B．8层C．9层D．10层答案：C解析：设电梯停靠在第x层时，其余10人的“不满意度”之和为S，向上步行的有(12－x)人，这(12－x)人“不满意度”之和为S1＝2＋4＋6＋…＋2(12－x)＝＝x2－25x＋156；向下步行的有10－(12－x)＝(x－2)(人)，这(x－2)人“不满意度”之和为S2＝1＋2＋…＋(x－2)＝＝x2－x＋1；所以S＝S1＋S2＝(x2－25x＋156)＋＝x2－x＋157＝2＋，由于x∈N,2≤x≤12，所以当x＝9时，S取最小值，即S最小时，电梯所停的楼层是9层．二、填空题6．(2015·山东泰安一模)正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n∈N，n≥2)，则a7＝________.答案：解析：因为2a＝a＋a(n∈N，n≥2)，所以数列{a}是以a＝1为首项，以d＝a－a＝3为公差的等差数列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n≥1，所以a7＝＝.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.5\n答案：解析：∵6S5－5S3＝5，∴6(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，∴a1＋3d＝，即a4＝.8．(2015·安庆模拟)已知等差数列{an}中，a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________.答案：解析：依题意，a1＋a99＝10，∴a50＝5，故a50＋a20＋a80＝a50＋2a50＝.9．(2015·福建龙岩质检)已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b2＝－2，b7＝8，则a8＝________.答案：16解析：∵{bn}为等差数列，且b2＝－2，b7＝8，设其公差为d，∴b7－b2＝5d，即8＋2＝5d，∴d＝2.∴bn＝－2＋(n－2)×2＝2n－6.∴an＋1－an＝2n－6.由a2－a1＝2×1－6，a3－a2＝2×2－6，…，an－an－1＝2×(n－1)－6，累加，得an－a1＝2×(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n2－7n＋6，∴an＝n2－7n＋8.∴a8＝16.10．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．答案：解：∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.三、解答题11．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数)．(1)证明：是等差数列；(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充要条件，使得数列{5\n}是等差数列，并说明理由．解：(1)证明：由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)，可得＝＋c，所以是等差数列．(2)由(1)可知，＝1＋(n－1)c，则an＝n＋n(n－1)c.{}是等差数列的充要条件是＝an＋b，即a2n2＋2abn＋b2＝cn2＋(1－c)n，则c＝1.12．(2015·济南模拟)设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列．(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.(2)由－Sn＋1＝＝＝＝－1＜0，得＜Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.而Sn＝－n2＋9n＝－2＋(n∈N*)，则当n＝4或5时，Sn有最大值20，即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.综上，数列{Sn}是“特界”数列．13．(2015·广东中山一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2009＝0.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求使an≥Sn的n的取值集合．解：(1)设公差为d，则由S2009＝0，得2009a1＋d＝0，则a1＋1004d＝0，d＝－a1，a1＋an＝a1，∴Sn＝(a1＋an)＝·a1＝(2009n－n2)．5\n∵a1<0，n∈N*，∴当n＝1004或1005时，Sn取最小值a1.(2)由(1)得an＝a1，由Sn≤an，得(2009n－n2)≤a1.∵a1<0，∴n2－2011n＋2010≤0，即(n－1)(n－2010)≤0，解得1≤n≤2010.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2010，n∈N*}．5
