课时作业(二十) 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数y＝tan的定义域是( )A.B.C.D.答案：D解析：y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z得x≠kπ＋，k∈Z，故应选D.2．(2014·陕西)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )A.B．πC．2πD．4π答案：B解析：∵T＝＝π，∴B正确，故应选B.3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A．2－B．0C．－1D．－1－答案：A解析：∵0≤x≤9，∴－≤x－≤.∴－≤sin≤1，∴－≤y≤2，∴最大值与最小值之和为2－，故应选A.4．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )A. B．7\nC. D．答案：C解析：f(x)＝2－，∵sinx∈[－1,1]，∴－≤f(x)≤1，∴f(x)的值域为，故应选C.5．(2015·浏阳模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数答案：A解析：∵T＝6π，∴ω＝＝＝，∴×＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝.∴f(x)＝2sin.令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z.则6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z.易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，故应选A.6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f·sinx在[0，π]上的大致图象为( )7\n答案：A解析：依题意，f(x)在上是增函数，当x∈时，f(x)≥0.当x∈时，－x∈，此时sinx≥0，f≥0，f·sinx≥0；当x∈时，－x∈，此时sinx≥0，f≤0，f·sinx≤0.因此，结合各选项知A正确．故应选A.二、填空题7．(2015·大连模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为，则正数ω＝________.答案：解析：由|α－β|的最小值为，知函数f(x)的周期T＝，∴ω＝＝.7\n8．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．答案：解析：依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin.因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，所以f(x)∈.9．(2014·全国大纲)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间上是减函数，则a的取值范围是________．答案：(－∞，2]解析：利用导数将f(x)在为减函数转化为导数f′(x)≤0在恒成立，f′(x)＝－2sin2x＋acosx＝－4sinxcosx＋acosx.∵x∈，∴cosx>0.∵f′(x)≤0在恒成立，即－4sinx＋a≤0在恒成立，∴a≤(4sinx)min.又y＝4sinx在的最小值接近2，故a≤2.10．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝对称．其中真命题是________．答案：③④解析：f(x)＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①7\n是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈时，2x∈，故③是真命题；因为f＝sinπ＝－，故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．三、解答题11．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x.(1)求f的值；(2)若x∈，求f(x)的最大值及相应的x值．解：(1)∵f(x)＝sinxcosx＋sin2x，∴f＝sincos＋sin2＝2＋2＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x＋＝(sin2x－cos2x)＋＝sin＋，由x∈得2x－∈，所以，当2x－＝，即x＝π时，f(x)取到最大值为.12．已知函数f(x)＝coscos－sinxcosx＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)∵f(x)＝coscos－sin2x＋＝－sin2x＋＝cos2x－sin2x－sin2x＋＝－－sin2x＋＝(cos2x－sin2x)＝cos，∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，7\n函数f(x)的最大值为.(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.13．(2014·四川)已知函数f(x)＝sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，7\n此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.7
