课时作业(四十三) 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．(2015·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案：D解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故应选D.2．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是( )A．①② B．②④ C．①③ D．②③答案：B解析：①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确，②正确，③中一个平面内的两条相交直线分别平等于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确，④正确．3．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )A．①②B．①④8\nC．②③D．③④答案：A解析：由线面平行的判定定理，知①②可得出AB∥平面MNP.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，PN∥BD，则下列命题中，错误的是( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°答案：C解析：由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD没有论证来源．5．(2015·余姚模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行答案：D解析：如图，连接C1D，BD，AC，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；8\n∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，故D错误．故应选D.6．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是( )A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN答案：C解析：显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)．取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．二、填空题7．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别为下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.8\n答案：a解析：如图，连接AC，易知MN∥平面ABCD，又平面ABCD∩平面PMNQ＝PQ，∴MN∥PQ.∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝，∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．答案：24或解析：如图，根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD的长分别为或24.9．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.8\n答案：M∈线段FH解析：连接FH，HN，FN，由题意知HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，且FH∩HN＝H，∴平面NHF∥平面B1BDD1，∴当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.10．空间四面体A－BCD的两条对棱AC，BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．答案：(8,10)解析：设＝＝k(0<k<1)，所以＝＝1－k，所以GH＝5k，EH＝4(1－k)，所以周长＝8＋2k.又因为0<k<1，所以周长的范围为(8,10)．三、解答题11．(2015·日照检测)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，8\n且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝a时，AM∥平面BDF，证明如下：在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN，如图，则CN∶NA＝1∶2.∵EM＝a，而EF＝AC＝a，∴EM∶MF＝1∶2，∴MF綊AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF.又∵NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.12．(2014·江西)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.(1)求证：A1C⊥CC1；(2)若AB＝2，AC＝，BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值．解：(1)证明：由AA1⊥BC，知BB1⊥BC，又BB1⊥A1B，故BB1⊥平面BCA1，则BB1⊥A1C，又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1.(2)解法一：设AA1＝x，在Rt△A1BB1中，A1B＝＝.同理，A1C＝＝.8\n在△A1BC中，cos∠BA1C＝＝－，sin∠BA1C＝，所以S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝.从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝.因为x＝＝，故当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.解法二：如图，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.因为AA1⊥BC，A1D⊥BC，所以BC⊥平面AA1D，所以BC⊥AD，又∠BAC＝90°，所以S△ABC＝AD·BC＝AB·AC，得AD＝.设AA1＝x，在Rt△AA1D中，A1D＝＝，S△A1BC＝A1D·BC＝.从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝.因为x＝8\n＝，故当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.8
