课时作业(二十一) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1．(2014·四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点( )A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案：A解析：y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin2的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象，故应选A.2．(2015·陕西铜川一模)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的函数解析式为( )A．y＝cos2x B．y＝－sin2xC．y＝sin D．y＝sin答案：A解析：把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到y＝sin2x的图象，再把图象向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin＝cos2x的图象，故应选A.3．(2015·临沂高三联考)函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，设∠APB＝θ，则tanθ的值是( )A．－2B．6C．8D．109\n答案：C解析：容易知道周期T＝2，作PD⊥x轴，垂足为D，那么PD＝1，设α＝∠APD，β＝∠BPD，tanα＝，tanβ＝，∠APB＝α＋β，容易得出tan∠APB＝8.故应选C.4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的导函数f′(x)在一个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝2sinD．y＝2sin答案：A解析：由函数图象可得f′(x)的图象的周期为π，最值为2，则f′(x)＝2sin(2x＋θ)，将代入可得sin＝1，令－＋θ＝可得θ＝，即得f′(x)＝2sin，则函数f(x)的解析式可以是f(x)＝－cos＝sin，故应选A.5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到的图象经过坐标原点；若将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象关于直线x＝对称，则( )A．ω＝π，φ＝B．ω＝2π，φ＝9\nC．ω＝π，φ＝D．ω＝3π，φ＝答案：A解析：将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到g(x)＝sin的图象，由函数图象经过坐标原点可得g(0)＝sin＝sin＝0，故φ－＝kπ(k∈Z)．将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的函数h(x)＝sin(2ωx＋φ)的图象，由函数图象关于直线x＝对称可得2ω×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即＋φ＝kπ＋.当k＝0时，解得故应选A.6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )答案：C解析：据点P0的坐标可得∠xOP0＝－，故∠xOP＝t－.设点P(x，y)，则由三角函数的定义，可得sin∠xOP＝，即sin＝，故y＝2sin.因此点P到x9\n轴的距离d＝|y|＝2，根椐解析式可得，C选项图象符合条件．故应选C.(另用排除法易选C)二、填空题7．(2015·德州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)的值等于________．答案：2＋2解析：由图可知A＝2，ω＝，所以f(x)＝2sin，又(2,2)在图象上，所以2sin＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.不妨令φ＝0，所以函数可变为f(x)＝2sinx.又∵f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2＋2.8．(2015·荆州模拟)已知f(x)＝cos(2x＋φ)，其中φ∈[0,2π)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则φ＝________.答案：解析：由题意知，当x＝时，f(x)取最小值，∴2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，9\n又0≤φ＜2π，∴φ＝.9．若将函数y＝sin(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为________．答案：解析：y＝sin＝sin，y＝sin＝sin.由题意知，当－＝，ω最小，解得ω＝.10．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．正确结论的编号为________．答案：②④解析：∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为π，∴ω＝＝2.又其图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋，k∈Z.9\n由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．∴y＝sin关于点对称，故②正确．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．∵(k∈Z)，∴④正确．三、解答题11．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)说明f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样变化得到．解：(1)f(x)＝cos2x＋sin2x＝2＝2sin，f(x)最小正周期为π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)将y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，将所得图象向左平移9\n个单位，再将所得的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到f(x)的图象．12．(2015·南通模拟)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)＞，求x的取值范围．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T＝＝π，∴ω＝2，∵f＝cos＝cos＝－sinφ＝，且－＜φ＜0，∴φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：2x－－0πx0πf(x)10－10图象如图：9\n(3)∵f(x)＞，即cos＞，∴2kπ－＜2x－＜2kπ＋，k∈Z，则2kπ＋＜2x＜2kπ＋，k∈Z，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.∴x的取值范围是.13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)由题图可得A＝1，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝1，可得sin＝1，因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)的解析式为f(x)＝sin.(2)g(x)＝f(x)－cos2x＝sin－cos2x＝sin2xcos＋cos2xsin－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.9\n因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.当2x－＝，即x＝时，g(x)取最大值为1；当2x－＝－，即x＝0时，g(x)取最小值为－.9
