课时提升练(十九) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用一、选择题1．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝【解析】 将y＝sin图象上各点横坐标缩短到原来的，得到y＝sin的图象，再向右平移个单位，得到y＝sin的图象，故x＝－是它的一条对称轴．【答案】 A2．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解析】 因为y＝sin3x＋cos3x＝sin＝sin，又y＝cos3x＝sin＝sin，所以应由y＝cos3x的图象向右平移个单位得到．7\n【答案】 C3．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f(x)＝sinxcosx；②f(x)＝sin2x＋1；③f(x)＝2sin；④f(x)＝sinx＋cosx．其中为“同簇函数”的是( )A．①② B．①④ C．②③ D．③④【解析】 由题意知只有振幅和周期都相同的函数才是“同簇函数”，故③④是“同簇函数”．【答案】 D4．(2022·安徽高考)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A.B.C.D.【解析】 f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，将其图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin＝sin的图象．∵g(x)＝sin的图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴－2φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，因此当k＝－1时，φ有最小正值.【答案】 C5．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图348所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )图348A．－B．－C.D．－【解析】 由△EFG是边长为2的等边三角形知，A＝，周期T＝4，∴ω＝，又f(x)是奇函数且0＜φ＜π，7\n∴φ＝，∴f(x)＝cos，∴f(1)＝cosπ＝－.【答案】 D6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图349所示，则当t＝秒时，电流强度是( )图349A．－5安B．5安C．5安D．10安【解析】 由图象知A＝10，＝－＝，∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝.∴φ＝.∴I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5安．【答案】 A二、填空题7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图3410所示，则f＝________.7\n图3410【解析】 由题图知，T＝＝2＝，∴ω＝2，又x＝是渐近线，且|φ|＜，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝，又f(0)＝1，从而可求A＝1，∴f(x)＝tan，因此f＝tan＝tan＝.【答案】 8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】 依题意，x＝＝时，y有最小值，∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－＜，即ω＜12，令k＝0，得ω＝.【答案】 9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12，A＞0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】 由题意得∴∴y＝23＋5cos，x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.【答案】 20.5三、解答题7\n10．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)说明f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样变化得到．【解】 (1)f(x)＝cos2x＋sin2x＝2＝2sin，f(x)最小正周期为π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)将y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到f(x)的图象．11．已知向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中常数ω∈(0,2)．(1)若x∈，求f(x)的值域；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，用五点法作出函数g(x)在区间上的图象．【解】 (1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωxcosωx＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin.已知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f＝±2，即－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝＋1∈(0,2)，从而ω＝1，所以f(x)＝2sin.因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，则f(x)的值域是[－1,2]．7\n(2)由题意得g(x)＝f＝2sin2x.列表：x－－02x－π－0π2sin2x0－2020描点画出图象如图所示．12．一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图3411中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.图3411(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【解】 (1)以圆心O为原原点，建立如图所示的直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－.故点B的坐标为，7\n∴h＝5.6＋4.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由sin＝1且用时最少得t－＝，∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．7
