课后限时集训(二十九) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用建议用时：40分钟一、选择题1．函数y＝sin在区间上的简图是( )A BC DA [令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.]2．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－B．C．1D．D [由题意可知该函数的周期为，∴＝，ω＝2，f(x)＝tan2x.∴f＝tan＝.]3．(2020·张家口模拟)要得到函数f(x)＝cos的图象，可将函数g(x)＝sinx的图象( )A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度\nC．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度B [f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin，因此只需将函数g(x)＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，故选B.]4．(2020·南昌模拟)已知函数f(x)＝asinωx＋acosωx(a＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则实数a，ω的值分别为( )A．a＝2，ω＝2B．a＝2，ω＝1C．a＝2，ω＝D．a＝2，ω＝C [由f(0)＝2得a＝2，则f(x)＝2sinωx＋2cosωx＝2sin.由f(0)＝f及结合图形知，函数f(x)在x＝处取得最大值，∴ω＋＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝12k＋，k∈Z.∵＞，即＞，∴0＜ω＜3，∴ω＝，故选C.]5．(多选)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，则( )A．该函数的解析式为y＝2sinB．该函数的对称中心为，k∈Z\nC．该函数的单调递增区间是，k∈ZD．把函数y＝2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象ACD [根据图象看出：A＝2，＝3π，∴ω＝，∴×＋φ＝，∴φ＝，∴该函数的解析式为y＝2sin，∴选项A正确；∵k＝0时，kπ－＝－，2sin＝2sin≠0，∴选项B错误；解－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ得，3kπ－≤x≤3kπ＋，k∈Z，∴该函数的单调递增区间是，k∈Z，∴选项C正确；将函数y＝2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到y＝2sin，∴选项D正确．故选ACD.]6．(多选)将函数f(x)＝sin3x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则( )A．g(x)在上的最小值为0B．g(x)在上的最小值为－1C．g(x)在上的最大值为0D．g(x)在上的最大值为1BD [将函数f(x)＝sin3x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin＝－cos3x的图象，\n当x∈时，3x∈，cos3x∈[－1,1]，－cos3x∈[－1,1]，故g(x)的最大值为1，最小值为－1，故选BD.]二、填空题7．(2020·无锡模拟)若函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________. [把函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos(2x－π＋φ)的图象．由题意知cos(2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，由0＜φ＜π知φ－＝－，即φ＝.]8．函数f(x)＝sinx＋cosx的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为________． [函数f(x)＝sinx＋cosx＝sin，其图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数y＝sin为偶函数，则－t＋＝＋kπ(k∈Z)，即t＝－－kπ(k∈Z)，又t＞0，∴当k＝－1时，tmin＝.]9．(2020·山东烟台调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，与y轴的交点坐标是(0,1)．若f(x)的最小正周期是π，则f(x)＝________；若f(x)的图象关于点对称，且在区间上单调递减，则ω的最大值是________．2sin 11 [由于函数f(x)的图象经过点(0,1)，所以2sinφ＝1，sinφ＝，由图象及|φ|＜π可知φ＝，于是f(x)＝2sin，又f(x)的最小正周期是π，所以ω＝＝2，故f(x)＝2sin.由f(x)的图象关于点对称，得－ω＋＝nπ，n∈Z，即ω＝－6n\n＋5，n∈Z，令＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)在(k∈Z)上单调递减，又f(x)在区间上单调递减，所以(k∈Z)，即(k∈Z)，即6k－1≤ω≤＋(k∈Z)，由0＜6k－1≤＋，得＜k≤2，当k＝1时，5≤ω≤，当k＝2时，ω＝11，又ω＝－6n＋5，n∈Z，所以ω＝5或ω＝11，所以ω的最大值是11.]三、解答题10．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[解] (1)因为T＝＝π，所以ω＝2，又因为f＝cos＝cos＝－sinφ＝，且－＜φ＜0，所以φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝cos.列表：2x－－0πx0πf(x)10－10描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．\n11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．[解] (1)由图象可知，A＝2.因为＝(T为最小正周期)，所以T＝π.由π＝，解得ω＝2.又函数f(x)的图象经过点，所以2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.(2)因为x∈[0，m]，所以2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增；所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减，所以f(x)≥f＝1，符合题意；当2x＋∈时，即x∈时，f(x)单调递减，所以f(x)＜f＝1，不符合题意．综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.\n1．(多选)已知函数f(x)＝cos2(ω＞0)的最小正周期为，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是( )A．g(x)为奇函数B．g(x)的图象关于点对称C．g(x)的图象关于直线x＝－对称D．g(x)在上的最大值是BC [f(x)＝cos2＝＋cos，依题意有＝，所以ω＝2，因此f(x)＝cos＋.将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，所以g(x)＝cos＋＝－sin4x＋.易知g(x)不是奇函数，故A错误；令4x＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，当k＝2时，x＝，又g＝，所以g(x)的图象关于点对称，故B正确；令4x＝＋kπ(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，当k＝－2时，x＝－，所以g(x)的图象关于直线x＝－对称，故C正确；当x∈时，4x∈，因此sin4x∈，g(x)∈，所以g(x)在上的最大值为，故D错误．]2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )A．R＝6，ω＝，φ＝－B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减D．当t＝20时，|PA|＝6\nC [由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sinφ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．故选C.]3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．[解] (1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|＜，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，令t＝sin，t∈[－1,1]，\n记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.1．一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．(1)当t＝5s时点P离水面的高度________m；(2)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，则此函数表达式为________．(1)2＋2 (2)h(t)＝4sin＋2(t≥0) [(1)t＝5s时，水轮转过角度为×5＝，即点P转到点A处，过点P0，A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N.在Rt△MOP0中，MP0＝2，∴∠MOP0＝.在Rt△AON中，∠AON＝，∴AN＝4×sin＝2，此时点A(P)离开水面的高度为(2＋2)m.(2)由题意可知，ω＝＝，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，由条件得h(t)＝4sin＋2.\n将t＝0，h(0)＝0代入，得4sinφ＋2＝0，∴φ＝－，∴所求函数的解析式为h(t)＝4sin＋2(t≥0)．]2．[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a＞0)，且满足________．(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．[解] (1)f(x)＝asin－2cos2＝asin－cos－1＝asin－cos－1＝asin＋sin－1＝(a＋1)sin－1.若选①，解答过程如下：因为f(x)的最大值为1，所以a＋1＝2，解得a＝1.所以f(x)＝2sin－1，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.若选②，解答过程如下：因为f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，且函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以－3是函数f(x)的最小值．因为a＞0，所以a＋1＞0，所以f(x)的最小值为－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1.所以f(x)＝2sin－1.若选③，解答过程如下：\n由f＝0，得(a＋1)sin－1＝(a＋1)sin－1＝0，即－1＝0，解得a＝1.所以f(x)＝2sin－1，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)令f(x)＝1，结合(1)得sin＝1，解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z.若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，则x＝或x＝.所以实数m的取值范围是.
