课时作业36 数列的综合应用一、选择题1．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则b2·(a1＋a2)＝( )A．20B．30C．35D．40解析：∵1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10；1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，因为b＝b2>0，所以b2＝3，所以b2·(a1＋a2)＝30，故选B.答案：B2．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则＝( )A．－1B．1C．52nD．52n－1解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则依题意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n.答案：C3．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是( )A．1B．2C．3D．4解析：根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.答案：A4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )A.B.5\nC.D.解析：由y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，n∈N*.∴bn＝，∴T10＝－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：B5．如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x>0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝( )A．208B．216C．212D．220解析：由Bn(n,0)，得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn，所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216，故选B.答案：B6．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y375961824数列{xn}满足x1＝1，且对任意x∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x2013＋x2014的值为( )A．7549B．7545C．7539D．7535解析：由已知表格列出点(xn，xn＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，…，数列{xn}是周期数列，周期为4,2014＝4×503＋2，所以x1＋x2＋…＋x2014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7549.答案：A5\n二、填空题7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．解析：由题意知a＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.答案：28．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析：依题意得，函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程是y－a＝2ak(x－ak)．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·k－1＝25－k，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：219．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列{}的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________．解析：由{an}为等差数列，a2＝5，a6＝21得，d＝＝4，an＝5＋4(n－2)＝4n－3，而数列{S2n＋1－Sn}有(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝S2n＋3－S2n＋1＋Sn－Sn＋1＝＋－<0得{S2n＋1－Sn}单调递减，其最大值为S3－S1＝，即≥得m≥，所以m最小值为5.答案：5三、解答题10．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.解：(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n.5\n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以an＝2n，n∈N*.(3)证明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴＝＝≤＝.∴＋＋…＋≤＝<.∴不等式成立．11．已知数列{an}的首项a1＝4，前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋an－2x3＋…＋a1xn，f′(x)是函数f(x)的导函数，令bn＝f′(1)，求数列{bn}的通项公式，并研究其单调性．解：(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)得Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)，两式相减得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋1)(n≥2)，又由已知得a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)，即{an＋1}是一个首项为5，公比为3的等比数列，所以an＝5×3n－1－1(n∈N*)．(2)因为f′(x)＝an＋2an－1x＋…＋na1xn－1，所以f′(1)＝an＋2an－1＋…＋na1＝(5×3n－1－1)＋2(5×3n－2－1)＋…＋n(5×30－1)＝5(3n－1＋2×3n－2＋3×3n－3＋…＋n×30)－.令S＝3n－1＋2×3n－2＋3×3n－3＋…n×30，则3S＝3n＋2×3n－1＋3×3n－2＋…＋n×31，作差得S＝－－，所以f′(1)＝－.即bn＝－，5\n而bn＋1＝－，所以bn＋1－bn＝－n－>0，所以{bn}是单调递增数列．已知各项均为正数的数列{an}满足：a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足：bn＝，是否存在正整数m，n(1<m<n)，使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由．解：(1)因为a＝2a＋anan＋1，即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0.又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1.所以数列{an}是公比为2的等比数列．由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2.故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(2)因为bn＝＝，所以b1＝，bm＝，bn＝.若b1，bm，bn成等比数列，则2＝，即＝.由＝，可得＝，所以－2m2＋4m＋1>0，从而1－<m<1＋.又n∈N*，且m>1，所以m＝2，此时n＝12.故当且仅当m＝2，n＝12时，b1，bm，bn成等比数列．5
