课时作业57 椭圆一、选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )A．2B．6C．4D．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4.答案：C2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )A．4B．5C．7D．8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>10－m，即m>6，且()2－()2＝22，解得m＝8.答案：D3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )A．－21B．21C．－或21D.或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，解得k＝－；由a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.答案：C4．已知椭圆：＋＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于8\nA，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( )A．1B.C.D.解析：由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.答案：D5．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析：设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2，由勾股定理得F1F2＝＝PF2，由椭圆定义得2a＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a＝，2c＝F1F2＝PF2⇒c＝，所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.答案：D6．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )8\nA.B.C.D.解析：设P(m，n)，·＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2＝c2，∴2c2－m2＝n2，①把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2，②把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上，此椭圆离心率的取值范围是，故选C.答案：C二、填空题7．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1>a＋3>0，解得－3<a<－2.答案：(－3，－2)8．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：如图，△MF1F2中，∵∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，又|F1F2|＝2c，8\n∴|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.答案：－19．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.解析：根据已知＝，可得a2＝c2，则b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－，y1y2＝－，把－y1＝3y2代入得，y2＝，－3y＝－，故9m2＝m2＋4，故m2＝，从而k2＝2，k＝±.又k>0，故k＝.答案：三、解答题10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．解：(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.①由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.8\n而x0≠0，故x0＝.代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.11．(2014·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0<x≤4)．因为＋≥4(0<x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.1．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )8\nA.B.C.D.解析：令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为.答案：C2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析：椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P使切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.∴sinα＝≤sin45°＝，解得a2≤2c2，∴e2≥，即e≥，而0<e<1，∴≤e<1，即e∈.8\n答案：C3．(2014·江西卷)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．解析：由题可知直线AB方程为x＝c，则A(c，)，B(c，)，|AB|＝.∵AB⊥x轴，OD⊥x轴，∴AB∥OD，又O为F1F2中点，∴D为F1B中点，又AD⊥F1B，∴|AF1|＝|AB|，则＝，整理得4a2c2＋b4＝4b4.∴2ac＝b2＝(a2－c2)c2＋2ac－a2＝0e2＋2e－＝0(e－1)(e＋)＝0，解得e＝.答案：4．(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解：(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|＝＝a＝，又C(，)，∴＋8\n＝1，解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)直线BF2方程为＋＝1，与椭圆方程＋＝1联立方程组，解得A点坐标为(，－)，则C点坐标为(，)，kF1C＝＝，又kAB＝－，由F1C⊥AB得·(－)＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，∴(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝＝.8
