课时作业26 三角函数高考热点追踪一、选择题1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A2．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )A.B．πC．2πD．4π解析：f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin，T＝＝π.答案：B3．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为( )A．－B.C.D.解析：由tanα＋＝得＋＝∴＝，∴sin2α＝.∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，∴cos2α＝－.∴sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin9\n＝×(－)＝－.答案：A4．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为( )A．1B．2C.＋1D.＋2解析：依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，当0≤x<时，≤x＋<，f(x)的最大值是2.答案：B5．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于( )A.B.C.D．3解析：∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cosA＝＝，解得c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.答案：C6．已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)9\n一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )A．2，B.，C．2，D.，解析：由在x轴上的投影为，知OF＝，又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数图象可以看成是由y＝sin2x的图象向左平移而来，故可知＝＝，故φ＝.答案：A二、填空题7．(2014·山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为______．解析：原式＝sin2x＋＝sin＋.∴周期T＝＝π.答案：π8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝9\ncosC＝＝－，又0<C<π，因此角C＝.答案：9．已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，则实数a的值为________．解析：∵x∈，∴2x＋∈，∴－1≤cos≤.当a>0时，cos＝，y取得最大值为a＋3，∴a＋3＝4，∴a＝2.当a<0时，cos＝－1，y取得最大值为－a＋3，∴－a＋3＝4，∴a＝－1.综上可知，实数a的值为2或－1.答案：2或－1三、解答题10．(2014·北京卷)如右图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．9\n解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanA·tanB－(tanA＋tanB)＝，且c＝.(1)求角C的大小；(2)求△ABC周长的取值范围．解：(1)由tanA·tanB－(tanA＋tanB)＝，得tanA·tanB－＝tanA＋tanB，所以tan(A＋B)＝＝－.在△ABC中，A＋B＝，所以C＝.(2)由c＝及正弦定理，得＝＝＝2，可得a＝2sinA，b＝2sinB，所以a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋＝2[sinA＋sin(－A)]＋＝cosA＋3sinA＋＝2sin(A＋)＋.因为0<A<，所以<A＋<，所以<sin(A＋)≤1，所以a＋b＋c的取值范围为(2，3]．9\n1．已知函数f(x)＝4sin(＋)，f(3α＋π)＝，f(3β＋)＝－，其中α，β∈[0，]，则cos(α－β)的值为( )A.B.C.D.解析：由f(3α＋π)＝，得4sin[(3α＋π)＋]＝，即4sin(α＋)＝，所以cosα＝，又α∈[0，]，所以sinα＝.由f(3β＋)＝－，得4sin[(3β＋)＋]＝－，即sin(β＋π)＝－，所以sinβ＝.又β∈[0，]，所以cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.答案：D2．已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的一段图象如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f(x)的图象上一个最低点，C在x轴上，若内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且△ABC的面积S满足12S＝b2＋c2－a2，将f(x)的图象向左平移一个单位得到g(x)的图象，则g(x)的表达式为( )A．g(x)＝cosxB．g(x)＝－cosxC．g(x)＝sinD．g(x)＝sin解析：9\n自点B向x轴作垂线，D为垂足．由已知，12S＝b2＋c2－a2，即12×bcsin∠BAC＝b2＋c2－a2，∴3sin∠BAC＝＝cos∠BAC，∴tan∠BAC＝.∴AD＝3，即T＝3，T＝4，＝4，ω＝，f(x)＝sinx.将f(x)的图象向左平移一个单位得到g(x)＝sin(x＋1)的图象，即g(x)＝cosx，故选A.答案：A3．如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比．现已知墙角AOB的度数为120°，当△AOB的面积为时，就可起到保护作用．则当围栏的造价最低时，∠ABO＝( )A．30°B．45°C．60°D．90°9\n解析：只要AB的长度最小，围栏的造价就最低．设OA＝a，OB＝b，则由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，又S△AOB＝absin120°＝，所以ab＝4.故AB2≥12，即AB的最小值为2.由a＝b及3ab＝12，得a＝b＝2.由正弦定理得sin∠ABO＝＝×＝.故∠ABO＝30°，故选A.答案：A4．将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，已知g(x)的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F(0,1)，与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为.(1)求函数g(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g(A)＝1，且b＝，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意可知g(x)＝2sin.由于S△MPQ＝·2·|PQ|＝，则|PQ|＝＝，∴T＝π，即ω＝2.又由于g(0)＝2sin＝1，且－<φ－<，则φ－＝，∴φ＝.即g(x)＝2sin＝2sin.(2)g(A)＝2sin＝1,2A＋∈，则2A＋＝，∴A＝.由余弦定理得b2＋c2－2bccosA＝a2＝5，∴5＝b2＋c2－bc≥bc.9\n∴S△ABC＝bcsinA≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立，故S△ABC的最大值为.9
