第五章 数列课时作业32 数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列，，，…的第10项是( )A.B.C.D.解析：由已知得数列的通项公式an＝，∴a10＝.答案：C2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5为( )A．－3B．－11C．－5D．19解析：由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋1＋an，又∵a1＝2，a2＝5，∴a3＝a1＋a2＝7，a4＝a3＋a2＝12，a5＝a4＋a3＝19，选D.答案：D3．数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝( )A.B.C．5D．6解析：因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝所以a5＝····a1＝××××1＝.故选A.答案：A4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝( )5\nA．9B．8C．7D．6解析：由an＝＝得an＝2n－10.由5<2k－10<8得7.5<k<9，由于k∈N*，所以k＝8.答案：B5．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an，两式相减，得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴an＝0(n∈N*)．答案：C6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即a2014－5＝( )A．2020×2012B．2020×2013C．1010×2012D．1010×2013解析：结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2014－5＝4＋5＋…＋2016＝1010×2013.答案：D二、填空题7．已知数列{}，则0.98是它的第________项．解析：＝0.98＝，∴n＝7.答案：78．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.解析：由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝()2(n≥2)，∴a3＋a5＝()2＋()2＝.5\n答案：9．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2014的值为________．解析：由an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，a1＝1，a2＝2，得a3＝2；由a2＝2，a3＝2得a4＝1；由a3＝2，a4＝1得a5＝；由a4＝1，a5＝得a6＝；由a5＝，a6＝得a7＝1；a6＝，a7＝1得a8＝2；由此推理可得{an}是一个周期为6的数列，所以a2014＝a4＝1.答案：1三、解答题10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．11．在数列{an}中，a1＝1，Sn为其前n项和，且an＋1＝2Sn＋n2－n＋1.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Tn；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)∵an＋1＝2Sn＋n2－n＋1，∴an＝2Sn－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝2an＋2n－2(n≥2)．由已知可得a2＝3，∴n＝1时上式也成立．∴an＋1－3an＝2n－2(n∈N*)，an－3an－1＝2(n－1)－2(n≥2)．5\n两式相减，得(an＋1－an)－3(an－an－1)＝2(n≥2)．∵bn＝an＋1－an，∴bn－3bn－1＝2(n≥2)，bn＋1＝3(bn－1＋1)(n≥2)．∵b1＋1＝3≠0，∴{bn＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列，∴bn＋1＝3×3n－1＝3n，∴bn＝3n－1.∴Tn＝31＋32＋…＋3n－n＝·3n＋1－n－.(2)由(1)知，an＋1－an＝3n－1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝30＋31＋32＋…＋3n－1－(n－1)＝(3n＋1)－n.1．已知函数y＝f(x)，数列{an}的通项公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增，则数列{an}是递增数列一定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{an}是递增数列，则函数在[1,2]上可以先减后增，只要在x＝1处的函数值比在x＝2处的函数值小即可．故“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件．选A.答案：A2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为( )A．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3}D．{1,2,4}解析：因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.答案：B3．已知数列{an}满足an＋1＝若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；5\n当a2为偶数时，a3＝a2＝1，a2＝2；当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；当a1为偶数时，a2＝a1＝5，a1＝10或a2＝a1＝2，a1＝4综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,104．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，∴cn＋1－cn＝＋－<0，∴{cn}是递减数列．5
