第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业27 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；②在△ABC中，＋－＝0；③在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；④在△ABC中，－＝.A．①②B．②③C．②④D．③④解析：①真命题．因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，所以a－b与b－a是相反向量．②真命题．因为＋－＝－＝0，所以命题成立．③假命题．因为＋＝，＋＝，所以(＋)－(＋)＝－＝＋≠0，所以该命题不成立．④假命题．因为－＝＋＝≠，所以该命题不成立．故选A.答案：A2．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选择项易知C满足题意．8\n答案：C3．如上图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则( )A．c＝－a＋bB．c＝a－bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b解析：∵＝＋＝＋3＝＋3(－)＝3＋－3∴2＝－＋3，∴c＝＝－a＋b.答案：A4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的( )A．重心 外心B．重心 内心C．外心 重心D．外心 内心解析：由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；＋＋＝0知，N为△ABC的重心．答案：C5．已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程x2＋x＋＝0的解集为( )8\nA．∅B．{－1}C.D．{－1,0}解析：由条件可知，x2＋x不能和共线，即使x＝0时，也不满足条件，所以满足条件的x不存在．答案：A6．设M是△ABC所在平面上一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( )A.B.C．1D．2解析：因为D为AC的中点，所以＝－(＋)＝－×2＝－3，故＝，故选A.答案：A二、填空题7．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，若∥，且＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．解析：因为∥，所以存在实数k，使得＝k.＝－＝＋(λ－1)，又由BO是△ABC的边AC上的中线，＝2，得点G为△ABC的重心，所以＝(＋)，所以＋(λ－1)＝(＋)，由平面向量基本定理可得，解得λ＝.8\n答案：8．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：＝－＝4e1＋2e2，＝－＝3e1，由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A，C，D共线，而其他λ无解．答案：④9．已知||＝3，||＝，⊥，点R在∠POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n(m，n∈R)，则等于________．解析：∵＝＋＝m＋n∴||＝3m，||＝n且tan30°＝＝＝∴＝1.答案：1三、解答题8\n10．如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.解：由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b.＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.11．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解：设＝a，＝tb，＝(a＋b)，∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需＝λ.即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a与b为不共线的非零向量，∴有⇒∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．1．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )A.B.8\nC．1D．3解析：如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，选B.答案：B2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是( )A．[0,1]B．[0，]C.D.解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．因为＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C.答案：C3．已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹所过的定点为________．解析：依题意，由＝＋λa＋λb，8\n得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，则＝λ，所以A，P，D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.答案：边BC的中点4．已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，.解：因为＝－＝－a，＝－＝－b，又3＋4＋5＝0.所以3＋4(－a)＋5(－b)＝0，所以＝a＋b.设＝t(t∈R)，则＝ta＋tb.①又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．而＝＋＝a＋.所以＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，②由①②得解得t＝.代入①得＝a＋b.8\n所以＝a＋b，＝a＋b.8
