课时作业49 空间向量及其运算一、选择题1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于( )A．12B．9C．25D．10解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故|AB|＝＝10.答案：D2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝(3，λ，)，且a∥b，则λ等于( )A.B.C．－D．－解析：a∥b⇔a＝kb⇔⇔答案：C3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为( )A．1B.C.D.解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由题意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.答案：D4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于( )A.B.C.D.7\n解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有解得m＝，n＝，λ＝.答案：D5．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|等于( )A.aB.aC.aD.a解析：∵＝－＝－＝＋－(＋＋)＝＋－，∴||＝＝a.故选A.答案：A6．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理·>0，·>0，故△BCD为锐角三角形．故选C.答案：C二、填空题7．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．解析：由题意知，P(0,0,1)或P(0,0，－1)．∴|PA|＝＝.或|PA|＝＝.答案：或8.7\n已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.解析：如图，＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．答案：(b＋c－a)9．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．解析：由题意，设＝λ，即OQ＝(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.7\n答案：三、解答题10．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2，1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．11．(2015·云南玉溪一中统考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)设＝λCC1(0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．解：(1)因为AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，在△BCC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝.BC＝BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos＝3，7\n所以BC1＝，故BC2＋BC＝CC，所以BC⊥BC1，而BC∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1,0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)．所以＝(－1,0，)，所以＝(－λ，0，λ)，E(1－λ，0，λ)．则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)．则，，令z＝，则x＝，y＝，故n＝(，，)是平面AB1E的一个法向量．因为AB⊥平面BB1C1C，＝(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量，所以|cos〈n，〉|＝||＝||＝.两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝(舍去)．1．二面角α—l—β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为( )A．2aB.a7\nC．aD.a解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈，〉＝60°，且·＝0，·＝0，∴＝＋＋，∴||＝＝＝2a.答案：A2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．则以，为边的平行四边形的面积为________．解析：由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，∴cos〈，〉＝＝＝＝.∴sin〈，〉＝.∴以，为边的平行四边形的面积S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.答案：73．如图，四棱锥S—ABCD中，ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD＝a(a>0)，AB＝2AD，SD＝AD，E为CD上一点，且CE＝3DE.(1)求证：AE⊥平面SBD.(2)M，N分别为线段SB，CD上的点，是否存在M，N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M，N的位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为四棱锥S—ABCD中，ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，所以SD⊥7\n平面ABCD.BD就是SB在平面ABCD上的射影．因为AB＝2AD，E为CD上一点，且CE＝3DE.∴tan∠DAE＝＝，tan∠DBA＝＝，∴∠DAE＝∠DBA，∴∠DAE＋∠BDA＝90°.∴AE⊥BD，∴AE⊥SB，∵SB∩BD＝B，∴AE⊥平面SBD.(2)假设存在点M，N满足MN⊥CD且MN⊥SB.建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，由题意可知，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0,2a,0)，B(a,2a,0)，S(0,0，a)，设＝＋t＝(a,2a,0)＋t(－a，－2a，a)＝(a－ta,2a－2ta，ta)(t∈[0,1])，即M(a－ta,2a－2ta，ta)，N(0，y,0)，y∈[0,2a]，＝(a－ta,2a－2ta－y，ta)．使MN⊥CD且MN⊥SB，则可得t＝∈[0,1]，y＝a∈[0,2a]．故存在点M，N使MN⊥CD且MN⊥SB，M，N.7
