课时作业30 破解高考中平面向量与其他知识的交汇问题一、选择题1．(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)解析：对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题．由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题．故选A.答案：A2．已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为BC边的中点，则||等于( )A．6B．5C．4D．3解析：因为D为BC的中点，所以＝(＋)，所以||＝|＋|.又||＝10，而＝－，所以|－|＝10⇒(－)2＝100，即||2＋||2－2·＝100.因为·＝－16，所以||2＋||2＝68，故(＋)2＝68－32＝36，所以|＋|＝6，即||＝3，故选D.答案：D3．a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( )A．－2B.－2C．－1D．1－解析：(a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)≥1－|c||a＋b|＝1－＝1－.8\n答案：D4．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则角A为( )A.B.C.D.解析：由题意可知＋＋＝0，∴＝－(＋)．又∵a＋b＋c＝0，∴＋＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝c，b＝c，∴cosA＝＝＝，∴A＝.答案：A5．已知正数a，b，向量m＝(4,1)，n＝(a，b)，m·n＝30，则＋取得最小值时的实数对(a，b)是( )A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)解析：因为向量m＝(4,1)，n＝(a，b)，m·n＝30，所以4a＋b＝30，＋＝(＋)(4a＋b)＝(4＋1＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当即时等号成立．故选A.答案：A6．已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是( )8\nA．1B.C.D.解析：因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图阴影部分表示，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝，故选D.答案：D二、填空题7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．解析：由＝(＋)可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即∠BAC＝90°，故与的夹角为90°.答案：90°8．如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________．8\n解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则＝(1,0)，＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1,0)＝x.因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，所以－5≤x≤5，即－5≤·≤5.所以应填[－5,5]．答案：[－5,5]9．已知向量m＝(x＋，2a)，n＝(1，－lnx)，函数f(x)＝m·n在区间(1,2)内是增函数，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x＋－2alnx，所以f′(x)＝1－－，由已知得1－－≥0在x∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax－3a2≥0在x∈(1,2)内恒成立．设g(x)＝x2－2ax－3a2，则或或Δ＝(－2a)2＋12a2≤0，解得－1≤a≤或∅或a＝0，所以实数a8\n的取值范围为[－1，]．答案：[－1，]三、解答题10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，·＝120.(1)求cos∠BAD；(2)设＝x＋y，求x，y的值．解：(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，cosα＝＝＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinα·sinβ＝×－×＝.(2)由＝x＋y得∴解得11．已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(sinx,1)，B(cosx,0)，C(－sinx,2)，点P在直线AB上，且＝.(1)记函数f(x)＝·，判断点(，0)是否为函数f(x)图象的对称中心，若是，请给予证明；若不是，请说明理由；8\n(2)若函数g(x)＝|＋|，且x∈[－，]，求函数g(x)的最值．解：(1)点(，0)为函数f(x)图象的对称中心．理由如下：因为＝＝(cosx－sinx，－1)，＝(2sinx，－1)，所以f(x)＝2sinx(cosx－sinx)＋1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z，取k＝2，可得(，0)为函数f(x)图象的对称中心．(2)设点P的坐标为(xP，yP)，则＝(xP－cosx，yP)，因为＝，所以cosx－sinx＝xP－cosx，yP＝－1，所以xP＝2cosx－sinx，yP＝－1，所以点P的坐标为(2cosx－sinx，－1)．因为＝(－sinx,2)，所以＋＝(2cosx－2sinx,1)，所以g(x)＝|＋|＝＝＝.因为x∈[－，]，所以－≤2x≤π，所以－≤sin2x≤1，所以1≤5－4sin2x≤7，所以1≤g(x)≤，所以函数g(x)在x∈[－，]上的最小值为1，最大值为.1．平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )A.B.C.8\nD.解析：由条件得cos〈a，b〉＝，所以sin〈a，b〉＝＝＝，所以S△OAB＝|a|·|b|sin〈a，b〉＝|a|·|b|＝＝.答案：C2．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0，则点P到点C的距离的最大值是________．解析：设P(x，y)，则Q(8，y)，由·＝0，得||2－||2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1，所以点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆，且a＝4，b＝2，c＝2，点C是其右焦点．故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6.答案：63．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)(λ∈R)，且·＝72，求线段OP在x轴上的投影长度的最大值．解：＝－＝(λ－1)，即＝λ，则O，P，A三点共线，又·＝72，所以与同向，所以||||＝72.8\n设OP与x轴夹角为θ，A点坐标为(x，y)，B为点A在x轴上的投影，则OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝||·＝＝72·＝72·＝72·≤72×＝15.当且仅当|x|＝时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.8
