第二章 函数、导数及其应用课时作业4 函数及其表示一、选择题1．(2014·江西卷)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：由题意可知x2－x>0，解得x<0或x>1.故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：C2．已知函数f(x)＝若f(f(1))＝4a，则实数a等于( )A.B.C．2D．4解析：∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.故选C.答案：C3．设函数f(x)＝那么f(2013)＝( )A．27B．9C．3D．1解析：根据题意，当x≥5时，f(x)＝f(x－5)，∴f(2013)＝f(3)，而当0≤x<5时，f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27，故选A.答案：A4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f(g(1))＝1，则a＝( )A．1B．2C．3D．－1解析：由题意可知f(g(1))＝1＝50，得g(1)＝0，5\n则a－1＝0，即a＝1.故选A.答案：A5．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]解析：由题意知，对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0恒成立，则Δ＝a2－4×1×1＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，故选D.答案：D6．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)解析：由题意，可得函数图象如下：所以f(x)不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.答案：D二、填空题7．设函数f(x)满足f(x)＝1＋flog2x，则f(2)＝________.解析：由已知得f＝1－f·log22，则f＝，则f(x)＝1＋·log2x，故f(2)＝1＋·log22＝.答案：8．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.5\n答案：(－1,3)9．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]三、解答题10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x＋5.解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．11．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100，单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)行车所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，5\n即x＝18时，上述不等式中等号成立．当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．1．(2014·浙江卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>9解析：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得解得所以f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，由0<f(－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c≤3，即6<c≤9，故选C.答案：C2．(2014·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝ 则f()＝________.解析：f()＝f(－)＝－4×＋2＝1.答案：13．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意或解得f(a)≥－2，即或解得a≤.答案：a≤4．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．解：(1)∵x＝时，4x＝，∴f1(x)＝＝1.5\n∵g(x)＝－＝，∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.∴∴≤x<.故x的取值范围为.5
