课时作业29 平面向量的数量积一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．5解析：∵|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.①∵|a－b|＝，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.②由①②可得a·b＝1.故选A.答案：A2．(2014·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )A．－B．0C．3D.解析：由已知(2a－3b)⊥c，可得(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，展开化简得4k－12＝0，所以k＝3，故选C.答案：C3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )A．－2B．2C．0D．2或－2解析：n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.答案：B4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x8\n轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是( )A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：设P点坐标为(x,0)．则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案：C5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )A.B.C.D．[0,1]解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，8\n所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.答案：C6．(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )A.B.C.D.解析：由于菱形边长为2，所以BE＝λBC＝2λ，DF＝μDC＝2μ，从而CE＝2－2λ，CF＝2－2μ.由·＝1，得(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝2×2×cos120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos120°＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.由·＝－，得(2－2λ)·(2－2μ)·＝－，所以λμ＝λ＋μ－，因此有4(λ＋μ)－2(λ＋μ)＋＝3，8\n解得λ＋μ＝，故选C.答案：C二、填空题7．(2014·北京卷)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析：|b|＝＝，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝＝＝.答案：8．已知点G是△ABC的重心，若A＝60°，·＝4，则||的最小值是________．解析：4＝·＝||||cosA＝||×||×，得||||＝8，由三角形重心的性质可得＋＝3，∴9||2＝||2＋||2＋2·≥2||·||＋2·＝2×8＋2×4＝24，∴||min＝.答案：9．(2014·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析：由已知得cosβ＝＝＝，∵e1与e2是单位向量，其夹角为α，且cosα＝，∴|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1||e2|cosα＝.∴cosβ＝8\n＝.答案：三、解答题10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若k＝2，求b的值．解：(1)∵·＝cbcosA，·＝bacosC，∴bccosA＝abcosC，根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，∴A＝C，即a＝c.即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得·＝bccosA＝bc·＝.·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.8\n1．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)，若|2a－b|<m恒成立，则实数m的取值范围为( )A．[4，＋∞)B．(4，＋∞)C．(2，＋∞)D．(4,10)解析：∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8＝8＋8sin.又θ∈[0，π]，∴θ－∈，∴sin∈，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.答案：B2．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为( )A.B.C.D.解析：由(－3)⊥，得(－3)·＝0，化简可得||cosB＝3||cos(π－C)，即c·＝－3b·，整理得2a2＝－b2＋c2，cosA＝≥＝.当且仅当b＝c时等号成立．又0<A<π，所以0<A≤.答案：A3．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．解析：8\n由＝＝(1,1)，可知四边形ABCD为平行四边形，且||＝||＝，因为＋＝，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD为菱形，其边长为，且对角线BD长等于边长的倍，即BD＝×＝，则CE2＝()2－2＝，即CE＝，所以三角形BCD的面积为××＝，所以四边形ABCD的面积为2×＝.答案：4．在△ABC中，<C<，且＝.(1)判断△ABC的形状；(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．解：由＝可得＝，∴＝，∴sinB＝sin2C，所以B＝2C或B＋2C＝π，因为<C<，若B＝2C，则B＋C>π.所以B＋2C＝π，由A＋B＋C＝π，相减得：A＝C三角形为等腰三角形(2)若|＋|＝2，则边AC上的中线长为1.·＝||·||cosB＝－||2cos(A＋C)＝－|BC|2cos2C8\n＝－cos2C＝∵<C<，∴<2C<π，∴－1<cos2C<－∴<·<1.8
