课时作业34 等比数列一、选择题1．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q为( )A．－B．1C．－或1D.解析：当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3.当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，解得q＝－，综上q＝－或q＝1.答案：C2．在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a6的值是( )A．±B．－C.D．±2解析：由题意得a4a8＝2，且a4＋a8＝3，则a4>0，a8>0，又{an}为等比数列，故a4，a6，a8同号，且a＝a4a8＝2，故a6＝，选C.答案：C3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝( )A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：q＝＝，则＝＝2n－1.答案：C4．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( )A.(4n－1)B.(2n－1)6\nC．4n－1D．(2n－1)2解析：由题意知a1＝1，q＝2，数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案：A5．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为( )A．2B．3C.D.解析：由题意，a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，d≠0，∴a1＝－4d，∴＝＝＝2.答案：A6．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2013＝( )A．92012B．272012C．92013D．272013解析：由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n，∴c2013＝33×2013＝272013，故选D.答案：D二、填空题7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析：∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.答案：2408．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC6\n的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析：由题意知数列{an}是以首项a1＝2，公比q＝的等比数列，∴a7＝a1·q6＝2×6＝.答案：9．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则Sn＝a1＋a2＋…＋an的取值范围是________．解析：因为{an}是等比数列，所以可设an＝a1qn－1.因为a2＝2，a5＝，所以解得所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝8－8×n.因为0<n≤，所以4≤Sn<8.答案：[4,8)三、解答题10．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由已知得将①代入②，得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.6\n由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，故数列{bn}为等差数列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝ln2.故Tn＝ln2.11．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解：(1)∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an.∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝，∴{bn}是公比为的等比数列．∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝⇒b1＝a1＋a2＝.∴bn＝×n－1＝.(2)由(1)可知an＋2＝an，∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)6\n＝＋＝3－.1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是( )A．若a3>0，则a2013<0B．若a4>0，则a2014<0C．若a3>0，则S2013>0D．若a4>0，则S2014>0解析：若a3>0，则a2013＝a3q2010>0；若a4>0，则a2014＝a4q2010>0，故A，B错；当a3>0，则a1＝>0，因为1－q与1－q2013同号，所以S2013＝>0，C正确．故选C.答案：C2．函数y＝图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是( )A.B.C.D.解析：因为y＝⇔(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，故函数的图象是以(－2,0)为圆心，1为半径的半圆．由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故≤q2≤3，即≤q≤，而<，选B.答案：B3．在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n－6，则a1＋a2＋…＋an＝＝2n－5－.6\n∵a5＝，q＝2，∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a＝1.∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27－>a1a2…a11a12＝a12＝26成立；当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28－<a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当n>13时，随着n增大a1＋a2＋…＋an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12.答案：124．(2014·天津卷)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}．可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an<bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1<0.所以，s<t.6
