课时作业43 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1时，左边是( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B.答案：B2．如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )A．p(n)对所有正整数n都成立B．p(n)对所有正偶数n都成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有自然数n都成立解析：归纳奠基是：n＝2成立．归纳递推是：n＝k成立，则对n＝k＋2成立．∴p(n)对所有正偶数n都成立．答案：B3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )A．an＝3n－2B．an＝n2C．an＝3n－1D．an＝4n－3解析：求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.答案：B4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．6\n当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案：A5．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )A．7B．8C．9D．10解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.答案：B6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( )A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，∴应增乘2(2k＋1)．答案：B二、填空题7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是__________．解析：n＝1,2,3,4代入验证成立，而n＝5验证不成立．答案：58．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案：(k＋1)2＋k29．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是__________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；6\n一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案：(5,7)三、解答题10．用数学归纳法证明下面的等式：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k.∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.11．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．(2)证明：＋＋…＋<.解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.6\n由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)(n∈N*)，bn＝(n＋1)2(n∈N*)．用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝＝(k＋2)2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)①当n＝1时，＝<.②当n≥2时，由(1)知an＋bn＝n(n＋1)＋(n＋1)2＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n.所以<.故＋＋…＋<＋＝＋＝＋<＋＝.由①②可知原不等式成立．1．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，6\nb2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．2．(2014·重庆卷)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．解：(1)解法1：a2＝2，a3＝＋1.再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1 (n∈N*)．解法2：a2＝2，a3＝＋1.可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.因此猜想an＝＋1.下用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1.则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．所以an＝＋1 (n∈N*)．(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n＋1<1.6\n当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<<a3<1，结论成立．假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1.故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.6
