【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第七章立体几何单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是( )A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案：A2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.B.C．8πD.解析：S圆＝πr2＝π⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，所以球的半径为R＝＝.所以V＝πR3＝，故选B.答案：B3．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β解析：对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；易知D正确．答案：D4．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )13\nA．7B.C.D.解析：依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为23－2×××1×1×1＝.答案：D5．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.解析：13\n如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)，∴cos〈，〉＝＝.答案：C6．如图所示，正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )A.B.C.D.解析：连接AC，BD交于点O，连接OE，易得OE∥PA，所以所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝，OE＝PA＝，BE＝.13\n所以cos∠OEB＝，所以∠OEB＝60°，选C.答案：C7．如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中给出下列三个命题：①点M到AB的距离为；②三棱锥C—DNE的体积是；③AB与EF所成的角是其中正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为MC＝，∴①正确；而VC—DNE＝××1×1×1＝，∴②正确；AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，∴③正确．答案：D8．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A—BD—C的正弦值为( )A. B.C. D.解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B13\n，D.∴＝，＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos〈n，〉＝，∴sin〈n，〉＝.答案：C9．正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )A.B.C.D.解析：如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系E—xyz.则E(0,0,0)，F(－1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(－1,0,2)，C1(0，，2)，G.∴＝(－2,0，－1)，＝(－1,0,1)，＝.设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝1，则n＝(1，－，1)，设B1F与平面GEF所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.答案：A13\n10．如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是( )A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析：连接B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綊AC，而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，所以B1B⊥EF，A正确；又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正确；显然EF与CD异面，C正确；由EF綊AC，AC∥A1C1，得EF∥A1C1，故不成立的选项为D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是底边长为413\n，高为2的等腰三角形，棱锥的高为2，故体积为V＝××4×2×2＝.答案：12．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为________．解析：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以2R＝，R＝，则球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝2π.答案：2π13．三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，(如图)可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确．答案：①②③④13\n14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G为BC的中点，K为AF的中点．沿EF将矩形折成120°的二面角A—EF—B，此时KG的长为________．解析：如图，过K作KM⊥EF，垂足M为EF的中点，则向量与的夹角为120°，〈，〉＝60°.又＝＋＝＋，∴2＝2＋2＋2·＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴||＝.答案：三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E—ABC组合而成，点A，B，C在圆O的圆周上，其正(主)视图，侧(左)视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC，AE＝2.(1)求证：AC⊥BD.(2)求三棱锥E—BCD的体积．解：(1)因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC.又因为AC⊥AB，AB∩ED＝A，所以AC⊥平面EBD.因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD.(2)因为点A，B，C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正(主)视图，侧(左)视图的面积可得，解得所以BC＝4，AB＝AC＝2.以下给出求三棱锥E—BCD体积的两种方法：方法1：由(1)知，AC⊥平面EBD，所以VE—BCD＝VC—EBD＝S△EBD×CA，13\n因为EA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB.其中ED＝EA＋DA＝2＋2＝4，因为AB⊥AC，AB＝AC＝2，所以S△EBD＝ED×AB＝×4×2＝4，所以SE—BCD＝×4×2＝.方法2：因为EA⊥平面ABC，所以VE—BCD＝VE—ABC＋VD—ABC＝S△ABC×EA＋S△ABC×DA＝S△ABC×ED.其中ED＝EA＋DA＝2＋2＝4，因为AB⊥AC，AB＝AC＝2，所以S△ABC＝×AC×AB＝×2×2＝4，所以VE—BCD＝×4×4＝.16．(10分)如图，AB＝AD，∠BAD＝90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠成△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.(1)求证：平面GNM∥平面ADC′.(2)求证：C′A⊥平面ABD.证明：(1)因为M，N分别是BD，BC′的中点，所以MN∥DC′.因为MN⊄平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′.同理NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N，所以平面GNM∥平面ADC′.(2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面C′AB.因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A.因为△BCD是等边三角形，AB＝AD，13\n不妨设AB＝1，则BC＝CD＝BD＝，可得C′A＝1.由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.因为AB∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.17．(12分)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EB＝EA，所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形．AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.因为EO∩DO＝0.所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.(2)因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，13\n所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)．所以＝(1,1，－1)，平面ABE的一个法向量为＝(0,1,0)．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈，〉＝＝，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且＝时，有EC∥平面FBD.证明如下：由＝＝，F，所以＝，＝(－1,1,0)．设平面FBD的法向量为v＝(a，b，c)，则有所以取a＝1，得v＝(1,1,2)．因为·v＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD，即点F满足＝时，有EC∥平面FBD.18．(12分)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.(1)求证：平面DAF⊥平面BCF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，13\n∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CBF.∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF.(2)由(1)知AF⊥平面CBF，∴FB为AB在平面CBF内的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH⊥AB，交AB于H.已知AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.在Rt△AFB中，根据射影定理得AF2＝AH·AB，∴AF＝1，sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°.∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD＝t(t>0)，则点D的坐标为(1,0，t)，C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F，∴＝(2,0,0)，＝，设平面DCF的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0.即，令z＝，解得x＝0，y＝2t，∴n1＝(0,2t，)．由(1)可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2＝＝，依题意，n1与n2的夹角为60°.13\n∴cos60°＝，即＝，解得t＝.因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°.13
