【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于( )A．1或－3B．－1或3C．1或3D．－1或－3解析：因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝x＋，由两直线平行，得＝a且≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案：A2．双曲线－＝1的焦点坐标是( )A．(1,0)，(－1,0)B．(0,1)，(0，－1)C．(，0)，(－，0)D．(0，)，(0，－)解析：c2＝a2＋b2＝2＋1＝3，所以c＝.由焦点在x轴上．所以焦点坐标为(，0)，(－，0)．答案：C3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )A．3B．2C.D．1解析：圆心到直线的距离d＝＝1，弦AB的长l＝2＝2＝2.答案：B4．已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )A．(x－2)2＋y2＝13B．(x＋2)2＋y2＝17C．(x＋1)2＋y2＝40D．(x－1)2＋y2＝20解析：设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝1，所以半径r＝＝＝2，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.答案：D9\n5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±4xD．y＝±x解析：由题意＝，所以a2＝4b2.故双曲线的方程可化为－＝1，故其渐近线方程为y＝±x.答案：A6．已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.－＝1B．y2－＝1C.－x2＝1D.－＝1解析：由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0，∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，∴＝，∴a＝2b.∵P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝，∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1.∴双曲线的方程为－x2＝1，故选C.答案：C7．过点P(1,1)作直线与双曲线x2－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线( )9\nA．存在一条，且方程为2x－y－1＝0B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0D．不存在解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x－y＝1，x－y＝1，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2，故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立可得2x2－4x＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．答案：D8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.答案：D9．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等解析：对于双曲线C1：－＝1，a＝cos2θ，b＝sin2θ，c＝1；对于双曲线C2：－＝1，a＝sin2θ，b＝sin2θtan2θ，c＝sin2θ＋sin2θtan2θ＝sin2θ(1＋tan2θ)＝9\nsin2θ＝＝tan2θ.∵只有当θ＝kπ＋(k∈Z)时，a＝a或b＝b或c＝c，而0<θ<，∴A，B，C均错；设双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e＝，e＝＝.故e1＝e2，即两双曲线的离心率相等．答案：D10．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A.B.C.D.解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，①|F1F2|＝2.又因为四边形AF1BF2为矩形，所以∠F1AF2＝90°.所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，②由①②联立解得，|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.在双曲线C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，故e＝＝＝，故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为＋＝1，9\n∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝012．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝013．已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．解析：椭圆的左焦点为F(－1,0)，右焦点为E(1,0)，根据椭圆的定义，|PF|＝2a－|PE|，∴|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋2a－|PE|＝2a＋(|PQ|－|PE|)，由三角形的性质，知|PQ|－|PE|≤|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a＋|QE|＝2＋3＝5.答案：(0，－1)14．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．解析：将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，9\ny2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1，所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.答案：2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，原点到过点A(a,0)，B(0，－b)的直线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．解：(1)因为＝，a2－b2＝c2，故a＝2b，因为原点到直线AB：－＝1的距离d＝＝，解得a＝4，b＝2，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由题意得(1＋4k2)x2＋8kx－12＝0，易得Δ>0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点是M(xM，yM)，则xM＝＝，yM＝kxM＋1＝，所以kBM＝＝－，又因为k≠0，所以k2＝，所以k＝±.16．(10分)过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.(1)求r的值；(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设＝＋，求||的最小值(O为坐标原点)．解：(1)圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为O(0,0)，于是|QO|2＝(－2)2＋()2＝25，9\n由题设知，△QDO是以D为直角顶点的直角三角形，故有r＝|OD|＝＝＝3.(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，则A(a,0)，B(0，b)，∴＝(a，b)，∴||＝.∵直线l与圆O相切，∴＝3⇒a2b2＝9(a2＋b2)≤2，∴a2＋b2≥36，∴||≥6，当且仅当a＝b＝3时取到“＝”．∴||取得最小值为6.17．(12分)如图，已知点E(m,0)(m>0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．解：(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4.∵M，∴M，同理，点N(2k＋1，－2k1)，9\n∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取得最小值4.(2)设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4m，∵M，∴M，同理，点N，∴kMN＝＝k1k2.∴直线MN的方程为y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m,2)．18．(12分)(2014·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.将y＝x代入可得x＝±，因此×＝，可得a＝2.因此b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．9\n因为直线AB的斜率kAB＝，又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.所以x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.由题意知x1≠－x2，所以k1＝＝－＝.所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)，可得k2＝－.所以k1＝－k2，即λ＝－.因此存在常数λ＝－使得结论成立．②直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，令x＝0，得y＝－y1，即N.由①知M(3x1,0)，可得△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.因为|x1||y1|≤＋y＝1.当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值，所以△OMN面积的最大值为.9
