【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．函数y＝的定义域为( )A.B.∪(－1，＋∞)C.D.∪(－1，＋∞)解析：由得x∈.答案：A2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．30°B．45°C．60°D．120°解析：由y′＝3x2－2得y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°.答案：B3．若已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )A．7B．2C．5D．3解析：f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log3<0，所以f＝9＋1＝9log32＋1＝32log32＋1＝3log34＋1＝4＋1＝5，所以f(f(1))＋f＝2＋5＝7，故选A.答案：A4．已知a＝0.7，b＝0.6，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是( )A．c<a<bB．c<b<aC．a<b<cD．b<a<c7\n解析：由log2.11.5<1<0.7－<0.6－，得c<a<b.答案：A5．函数f(x)＝2x－sinx的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：显然f(x)的一个零点是0，而f′(x)＝2－cosx>0，即f(x)在R上单调递增，因此函数f(x)只有一个零点，故选A.答案：A6．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝|x＋b|的图象为( )解析：由基本不等式得f(x)＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取得最小值1，故a＝2，b＝1，因此g(x)＝|x＋b|＝|x＋1|，只需将y＝|x|的图象向左平移1个单位即可，其中y＝|x|的图象可利用其为偶函数通过y＝x作出，故选B.答案：B7．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )7\nA．f(2)<f(5)<f(8)B．f(5)<f(8)<f(2)C．f(5)<f(2)<f(8)D．f(8)<f(2)<f(5)解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且周期为8，所以f(8)＝f(0)，f(5)＝－f(1)＝f(－1)，因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数f(x)在区间[－2,2]上是增函数，又－2<－1<0<2，所以f(5)<f(8)<f(2)．答案：B8．若函数f(x)＝x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R在区间(－2,3)上是减函数，则实数m的取值范围为( )A．m≥3B．m≤－2C．m≥2或m≤－3D．m≥3或m≤－2解析：因为f′(x)＝x2＋2mx－3m2，令f′(x)＝0，得x＝－3m或x＝m.当m＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，不符合题意．当m>0时，f(x)的单调递减区间是(－3m，m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则，解得m≥3.当m<0时，f(x)的单调递减区间是(m，－3m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则，解得m≤－2.综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤－2.故选D.答案：D9．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2B．3C．6D．9解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，Δ＝4a2＋96b>0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，且a>0，b>0，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9.答案：D10．(2014·湖南卷)若0<x1<x2<1，则( )A．ex2－ex1>lnx2－lnx1B．ex2－ex1<lnx2－lnx1C．x2ex1>x1ex2D．x2ex1<x1ex2解析：构造函数f(x)＝ex－lnx，则f′(x)＝ex－，故f(x)＝ex－lnx7\n在(0,1)上有一个极值点，即f(x)＝ex－lnx在(0,1)上不是单调函数，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故A、B错；构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝，故函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，故g(x1)>g(x2)，x2ex1>x1ex2，故选C.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)11．设f(x)＝则f[f(－1)]＝________.解析：f(－1)＝(－1)2＝1，所以f[f(－1)]＝f(1)＝21＝2.答案：212．不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积为________．解析：由x2－2x<0，得0<x<2，又y2＝4x，得y＝±2，∴所求面积S＝22dx＝4·x＝.答案：13．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：依题意得，f′(x)＝2ax＋＝0(x>0)有实根，所以a＝－<0.答案：(－∞，0)14．对于函数f(x)＝x|x|＋px＋q，现给出四个命题：①q＝0时，f(x)为奇函数；②y＝f(x)的图象关于(0，q)对称；③p＝0，q>0时，方程f(x)＝0有且只有一个实数根；④方程f(x)＝0至多有两个实数根．其中正确命题的序号为________．解析：若q＝0，则f(x)＝x|x|＋px＝x(|x|＋p)为奇函数，所以①正确；由①知，当q＝0时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋px＋q的图象由函数f(x)＝x|x|＋px向上或向下平移|q|个单位，所以图象关于(0，q)对称，所以②正确；当p＝0，q>0时，f(x)＝x|x|＋q＝当f(x)＝0，得x＝－，只有一解，所以③正确；取q＝0，p＝－1，f(x)＝x|x|－x＝由f(x)＝0，可得x＝0，x＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③.7\n答案：①②③三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，h(x1)－h(x2)＝(x1－x2).因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以2－>0，所以h(x1)<h(x2)，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)即a≤3，所以a的取值范围是(－∞，3]．16．(10分)(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)·(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；7\n当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，因为当x∈时，<0，依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为.17．(12分)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，证明：切点的横坐标为1.解：(1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx(x>0)，∴f′(x)＝2x＋1－＝，当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明：设切点为M(t，f(t))，f′(x)＝2x＋a－，切线的斜率k＝2t＋a－，又切线过原点，则k＝，∴＝2t＋a－，即t2＋at－lnt＝2t2＋at－1.∴t2－1＋lnt＝0，存在性：t＝1满足方程t2－1＋lnt＝0，∴t＝1是方程t2－1＋lnt＝0的根．再证唯一性：设φ(t)＝t2－1＋lnt，φ′(t)＝2t＋>0，φ(t)在(0，＋∞)单调递增，且φ(1)＝0，∴方程t2－1＋lnt＝0有唯一解．综上，切点的横坐标为1.7\n18．(12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题意得－＝－2，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k>0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．7
