【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第5节函数y=Asin（ωx+ψ）的图像及三角函数的应用课后限时自测理苏教版A级 基础达标练一、填空题1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值是________．[解析] |MN|＝|sina－cosa|＝，∴|MN|max＝.[答案] 2．(2013·江西高考)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期为________．[解析] 由于y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋，∴T＝＝π.[答案] π3．f(x)＝sinx－cos的值域为________．[解析] f(x)＝sinx－cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝＝sin，∵x∈R，∴f(x)∈[－，]．[答案] [－，]4．(2014·扬州调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图357所示，则f(2)＝________.图3576\n[解析] 由题意＝2，∴T＝＝，∴ω＝.又∵f(1)＝sin＝1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)从而f(x)＝sin，∴f(2)＝sin＝－.[答案] －5．已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为________．[解析] 由f(x)＝sinx－cosx＝2sin≥1，得sin≥，∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.[答案] 6．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称且f＝0，则ω的最小值为________．[解析] 由题意设ω·＋φ＝k1π，①ω·＋φ＝k2π＋ ②法一：其中k1，k2∈Z，②－①得ω＝4(k2－k1)＋2，又ω>0，∴ω的最小值为2.法二：(间接法)由T＝知ω最小时T最大．由题设易知Tmax＝4＝π，故ωmin＝＝＝2.[答案] 27．已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x，下面结论正确的有________．(填上所有正确的编号)①函数f(x)的图象可由g(x)＝2sin2x的图象向左平移个单位得到；6\n②函数f(x)的图象关于直线x＝对称；③函数f(x)在区间上是增函数；④函数f(x)的图象关于点对称．[解析] f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，将g(x)＝2sin2x得h(x)＝2sin2＝2sin故①错误；∵f＝2sin＝2，故②正确．当x∈时，2x＋∈⊆，故③正确∵f＝2sin＝2sinπ＝0，故④正确．[答案] ②③④8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图358所示，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)的值等于________．图358[解析] 由图象知A＝2，T＝8，ω＝＝，φ＝0，∴f(x)＝2sin，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝252(f(1)＋f(2)＋…＋f(8))＝0.[答案] 0二、解答题9．设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(0<ω<1，a∈R)，f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)，若g(x)的图象关于y轴对称，解答以下问题：(1)求ω的值．6\n(2)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值．[解] (1)f(x)＝(1＋cos2ωx)＋sin2ωx＋a＝sin＋＋a.依题意得g(x)＝sin＋＋a，又g(x)的图象关于y轴对称．∴＋＝kπ＋，k∈Z.又0<ω<1，∴ω＝(取k＝0)．(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋a，∵≤x≤，则≤x＋≤，∴当x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值＋a＝，故a＝.10．(2014·北京高考)函数f(x)＝3sin的部分图象如图359所示．图359(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.(2)因为x∈，所以2x＋∈.于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；6\n当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.[B级 能力提升练]一、填空题1．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数；f1(x)＝sinx＋cosx，f2(x)＝sinx＋，f3(x)＝sinx，则正确说法是________．①f1(x)、f2(x)、f3(x)为“同形”函数；②f1(x)、f2(x)为“同形”函数，且它们与f3(x)不为“同形”函数；③f1(x)、f3(x)为“同形”函数，且它们与f1(x)不为“同形”函数；④f2(x)、f3(x)为“同形”函数，且它们与f1(x)不为“同形”函数．[解析] f1(x)＝sinx＋cosx＝sin，f1(x)与f2(x)振幅相同周期相同，所以f1(x)与f2(x)是“同形”函数，f3(x)与f1(x)，f2(x)的振幅不同，故f3(x)与f1(x)、f2(x)不为“同形”函数．[答案] ②2．如图3510所示为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)，则A、ω的取值分别为________．图3510[解析] 由于水轮每分钟旋转4圈，即水轮转一圈用15s，即函数周期为15s，易得ω＝，又由于水轮的半径为3m，易知A＝3.[答案] 3 二、解答题3．(2014·盐城模拟)已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.6\n(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有解，求实数k的取值范围．[解] f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋(1＋cos2ωx)－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin.(1)因为直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴且|x1－x2|的最小值为，即＝.∴T＝.∴2ω＝＝＝4.∴ω＝2.∴f(x)＝sin.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin＝sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin的图象．∵x∈，∴2x－∈.∴g(x)∈.∵g(x)＋k＝0，∴－k＝g(x)∈.∴k∈.6
