【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第5章第5节数列的综合应用课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·南通质检)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值________．[解析] 由a－a＝1(n∈N*)知，数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，则a＝1＋(n－1)×1＝n.由an<5得<5，∴n<25，则n的最大值为24.[答案] 242．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比q＝________.[解析] 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d.故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.[答案] 23．(2014·泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的________条件．[解析] {an}为等比数列，a1>0，当a1<a2时，q>1.{an}为递增数列；若{an}为递增数列，则q>1，a1<a2成立．[答案] 充要4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k项满足750＜ak＜900，则k＝________.[解析] 由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，又a2＝3S1＝3，∴an＝又750＜ak＜900，验证得k＝6.[答案] 66\n5．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.[解析] 设等比数列的公比为q，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，解得q＝1＋或q＝1－(舍去)．∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.[答案] 3＋26．(2014·盐城模拟)已知a，b，c(a<b<c)成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则的值为________．[解析] ∵a，b，c(a<b<c)成等差数列，∴设a＝b－d，c＝b＋d(d>0)，①若交换a，b，则b，b－d，b＋d成等比数列，得(b－d)2＝b(b＋d)，解得d＝3b，∴a＝－2b，c＝4b.∴＝＝10.②若交换a，c，则d＝0(舍去)．③若交换b，c也可得＝10，综上，＝10.[答案] 107．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.[解析] 设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，则an＝n，由题意知n<10%，∴n≥4.[答案] 48．已知数列{an}为等差数列，公差为d，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn<0的n的最小值为________．[解析] 根据Sn有最大值知，d<0，则a10>a11，由<－1知，a10>0>a11，6\n且a11<－a10即a10＋a11<0，从而S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0，则使Sn<0的n的最小值为20.[答案] 20二、解答题9．(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．[解] (1)设等比数列{an}的公比为q.因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又因为a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝·n－1＝(－1)n－1·.(2)证明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小．所以Sn＋≤S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn＋≤.10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M6\n的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新．证明：需在第9年初对M更新．[解] (1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n.当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6.An＝.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80，所以需在第9年初对M更新．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·盐城模拟)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a16\n＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存在常数α，β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n恒成立，则αβ＝________.[解析] 由题意，可设an＝2＋(n－1)d，bn＝qn－1，于是由得∵d≠0，∴∴an＝2n，bn＝22n－2，代入an＝logαbn＋β，即2n＝(2n－2)logα2＋β，即2n(1－logα2)＝β－2logα2，∴解得故αβ＝22＝4.[答案] 42．(2013·江苏高考)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为________．[解析] 设{an}的公比为q(q＞0)，则由已知得解得于是a1＋a2＋…＋an＝＝(2n－1)，a1a2…an＝aq＝n2.由a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an得(2n－1)＞n2，则2n－1＞2n2－n＋5.由2n＞2n2－n＋5，得n＞n2－n＋5，∴n2－13n＋10＜0，解得＜n＜，验证当n＝12时，满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an.n≥13时，不满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an.故n的最大值为12.[答案] 12二、解答题3．(2012·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N*.6\n(1)设bn＋1＝1＋，n∈N*，求证：数列是等差数列；(2)设bn＋1＝·，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．[解] (1)证明：由题设知an＋1＝＝＝，所以＝，从而2－2＝1(n∈N*)，所以数列是以1为公差的等差数列．(2)因为an>0，bn>0，所以≤a＋b<(an＋bn)2，从而1<an＋1＝≤.(*)设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0.下证q＝1.若q>1，则a1＝<a2≤，故当n>logq时，an＋1＝a1qn>，与(*)矛盾；若0<q<1，则a1＝>a2>1，故当n>logq时，an＋1＝a1qn<1，与(*)矛盾．综上，q＝1，故an＝a1(n∈N*)，所以1<a1≤.又bn＋1＝·＝·bn(n∈N*)，所以{bn}是公比为的等比数列．若a1≠，则>1，于是b1<b2<b3.又由a1＝得bn＝，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾．所以a1＝，从而bn＝＝.所以a1＝b1＝.6
