第十一章计数原理第二讲 二项式定理练好题·考点自测1.[2020北京,3,4分]在(x-2)5的展开式中,x2的系数为( )A.-5B.5C.-10D.102.[2020全国卷Ⅰ,8,5分][理](x+y2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )A.5B.10C.15D.203.[2021河南开封模拟](2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于( )A.16B.32C.64D.1284.[2021大同高三调研]在(2x-1)7的二项展开式中,第四项的系数为 . 5.[2020天津,11,5分]在(x+2x2)5的展开式中,x2的系数是 . 6.[2021安徽摸底考试](x-y-2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为 . 7.[2017山东,11,5分][理]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= . 8.[2020浙江,12,6分]二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= . 9.[2020浙江金丽衢十二校第一次联考]在(x2-12x)9的展开式中,常数项为 ,系数最大的项是 . 拓展变式1.(1)[2021河南省名校第一次联考](1-x)(x+1x+2)4的展开式中x的系数是( )A.10B.2C.-14D.34(2)在(1-3x)7+(x+ax)6的展开式中,若x2的系数为19,则a= . (3)[2019浙江,13,6分]在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 . 2.(1)[2020山西大同高三调研]若(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A.210B.180C.160D.175(2)已知(2x-1x)n的展开式中的二项式系数和为32.若(x+ax)(2x-1x)n的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为 . 答案第二讲 二项式定理第3页共3页\n1.C 由二项式定理得(x-2)5的展开式的通项Tr+1=C5r(x)5-r(-2)r=C5r(-2)rx5-r2,令5-r2=2,得r=1,所以T2=C51(-2)x2=-10x2,所以x2的系数为-10,故选C.2.C 因为(x+y)5的展开式的通项Tr+1=C5rx5-ryr,所以(x+y2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为C53+C51=15.故选C.3.A ∵(2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,∴Cnn-1·21·(-3)n-1=-Cnn-2·22·(-3)n-2,解得n=4,24=16,则(3x-2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.4.-560 由二项式定理知,(2x-1)7的展开式的第4项为T4=C73·(2x)4·(-1)3=-560x4,所以第四项的系数为-560.5.10 二项式(x+2x2)5的展开式的通项为Tr+1=C5r·x5-r·(2x2)r=C5r·2r·x5-3r.令5-3r=2得r=1.因此,在(x+2x2)5的展开式中,x2的系数为C51·21=10.6.120 (x-y-2z)6的展开式中含x2y3z的项为C62x2·C43(-y)3·(-2z)=120x2y3z,故展开式中含x2y3z的项的系数为120.7.4 由题意可知Cn232=54,所以Cn2=6,解得n=4.8.80 122 由二项式定理得,(1+2x)5展开式的通项公式为Tr+1=C5r2rxr,所以a4=C54×24=80.当x=1时,35=a0+a1+a2+a3+a4+a5 ①,当x=-1时,-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5 ②,由①-②得35+1=2(a1+a3+a5),所以a1+a3+a5=122.9.2116 9x12 展开式的通项公式为Tr+1=C9r(x2)9-r(-12x)r=C9r·(-12)r·x18-3r,当18-3r=0时,r=6,所以常数项为T7=C96(-12)6=2116,要使项的系数最大,r必须为偶数,即有C9r(12)r≥C9r-2(12)r-2,C9r(12)r≥C9r+2(12)r+2,则9!r!(9-r)!(12)r≥9!(r-2)!(11-r)!(12)r-2,9!r!(9-r)!(12)r≥9!(r+2)!(7-r)!(12)r+2,解得1609-296≤r≤1609-176.又r是偶数,故r=2,所以系数最大项为T3=C92(x2)7(-12x)2=9x12.1.(1)C (1-x)(x+1x+2)4=(1-x)(x2+1+2xx)4=(1-x)(x+1)8x4=(x+1)8x4-(x+1)8x3,又(x+1)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8rx8-r,所以(x+1)8x4的展开式中含x的项为C83x5x4=C83x,-(x+1)8x3的展开式中含x的项为-C84x4x3=-C84x,所以(1-x)(x+1x+2)4的展开式中x的系数是C83-C84=-14.故选C.(2)2 (1-3x)7+(x+ax)6的展开式中x2的系数为C76(-1)6+C61(a)1=C76+aC61,则aC61+C76=19,解得a=2.(3)162 5 (2+x)9的通项公式为Tr+1=C9r(2)9-rxr(r=0,1,2,…,9),可得常数项为T1=C90(2)9=162,当系数为有理数时,r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10,共5个项.第3页共3页\n2.(1)B 解法一 因为(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x-2x2)10的展开式的通项公式为Tk+1=C10k(x)10-k(-2x2)k=(-2)kC10kx10-k2-2k=(-2)kC10kx5-52k,令5-52k=0,解得k=2,所以常数项为(-2)2C102=180.解法二 因为(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x-2x2)10可以看成10个多项式x-2x2相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取-2x2,余下的8个多项式中都取x,则常数项为C102(-2x2)2(x)8=180.(2)40 因为(2x-1x)n的展开式中的二项式系数和为32,所以2n=32,所以n=5.令x=1,得(x+ax)(2x-1x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2,即a=1,所以(x+ax)(2x-1x)5的展开式中的常数项为C53·(-1)3·25-3+C52·(-1)2·25-2=40.第3页共3页
