第十一章计数原理第二讲 二项式定理1.[2021八省市新高考适应性考试](1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )A.60B.80C.84D.1202.[2021山东威海开学考试]设n∈N*,则Cn1+Cn2·7+Cn3·72+…+Cnn·7n-1=( )A.8nB.8n7C.8n-17D.8n+173.[2021江西七校联考]若(3x-1x)n的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为( )A.-540B.-162C.162D.5404.[2020四川五校联考](3x3+x4)(2-1x)8的展开式中x2的系数为( )A.-1280B.4864C.-4864D.12805.[2020江西模拟]二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为( )A.120B.135C.140D.1006.若(x4-1xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )A.8B.10C.11D.127.[2021贵阳摸底考试](x2-1x)5的展开式中x4的系数是 .(用数字作答) 8.[2020重庆南开中学模拟]已知(ax+1)n(n∈N*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a= . 9.[2020唐山模拟]在(ax2-2x)5的展开式中,x4的系数为5,则实数a的值为 . 10.[2021蓉城名校第一次联考]已知二项式(3x-1x)n的展开式中所有项的系数和为512,函数f(r)=Cnr,r∈[0,n]且r∈N,则函数f(r)取最大值时r的值为( )A.4B.5\nC.4或5D.611.[2020山西忻州高三模拟]设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.812.[2020唐山市摸底考试]在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是( )A.-10B.0C.10D.2013.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为 . 14.[2019江淮十校联考]若(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为 . 15.若(x3+1x2)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为 . 16.[递进型]若二项式(ax2+1x)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为 ,展开式中所有无理项的系数之和为 . 17.[并列型]已知(1+x+x2)3(1+2x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,则a3= ,a1+a2+…+a7= . 18.[2021南京检测][与函数综合]设函数f(x)=(a-x)(1+x)4,其导函数f'(x)的展开式中各项系数之和为64,则实数a= . 19.[2021江西师大附中段考][与数列综合]已知(x+124x)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,则展开式中系数最大的项是 . 20.[2020山东青岛检测][与集合、排列组合综合]已知a∈N,二项式(x+a+1x)6的展开式中含有x2项的系数不大于240,记a的取值集合为A,则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有 个. 21.[2020东北三校联考]在二项式(x-2y)6的展开式中,设二项式系数和为A,各项系数和为B,x的奇次幂项的系数和为C,则ABC= . \n答案第二讲 二项式定理1.D 由题意可得x2的系数为C22+C32+C42+…+C92=C33+C32+C42+…+C92=C43+C42+…+C92=…=C103=120,故选D.2.C Cn1+Cn2·7+Cn3·72+…+Cnn·7n-1=17(Cn1·7+Cn2·72+Cn3·73+…+Cnn·7n)=17(Cn0+Cn1·7+Cn2·72+Cn3·73+…+Cnn·7n-1)=17[(1+7)n-1]=8n-17.故选C.3.A 在(3x-1x)n中令x=1,则由题意可得,2n=64,解得n=6.(3x-1x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(3x)6-r·(-1x)r=36-r·(-1)r·C6r·x3-r,令3-r=0,得r=3,所以(3x-1x)6的展开式的常数项为33·(-1)3·C63=-540,故选A.4.A 由(2-1x)8的展开式的通项Tr+1=C8r28-r(-1x)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里取C81×27×(-1x),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C82×26×(-1x)2,故展开式中的x2项为3x3[C81×27×(-1x)]+x4[C82×26×(-1x)2],化简得-1280x2.故选A.5.B (1-x)10的展开式的通项Tr+1=C10r(-x)r=(-1)rC10rxr,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为(-1)4C104+(-1)3C103+(-1)2C102=135.故选B.6.C (x4-1xx)n的展开式的通项Tr+1=Cnr(x4)n-r(-1xx)r=(-1)rCnrx4n-112r,当4n-112r=0,即n=118r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.7.10 (x2-1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(x2)5-r·(-1x)r=(-1)rC5rx10-2rx-r=(-1)rC5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,∴展开式中x4的系数是(-1)2×C52=10.\n8.2 依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.9.12 由条件可知(ax2-2x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5-r·(-2x)r=(-2)rC5r·a5-rx10-3r,令10-3r=4,解得r=2,故(-2)2C52·a3=5,解得a=12.10.C 令x=1,则有2n=512⇒n=9,所以函数f(r)=C9r,r∈[0,9],r∈N,该函数对应的正是(3x-1x)9的二项式系数,根据二项式系数对称性的特征,可知r=4或r=5时,f(r)取得最大值.11.B 根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C2mm=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C2m+1m=C2m+1m+1=b.又13a=7b,所以13C2mm=7C2m+1m,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.12.B 解法一 (x-y)5展开式的通项Tk+1=Ck5x5-k(-y)k=(-1)kC5kx5-kyk,所以(x+y)(x-y)5的展开式的通项为(-1)kC5kx6-kyk或(-1)kC5kx5-kyk+1,则当k=3时,有(-1)kC5kx6-kyk=-10x3y3,当k=2时,有(-1)kC5kx5-kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0,故选B.解法二 (x+y)(x-y)5=(x+y)(x-y)(x-y)(x-y)(x-y)(x-y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取-y,所以有xC52x2(-y)3=-10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取-y,所以有yC53x3(-y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.13.-320 (x-2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6-2y(2x+y)6+(2x+y)6,(2x+y)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2x)6-ryr=C6r26-r·x6-ryr.x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为C6323=160;-2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为-2×C62×24=-480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.综上,(x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为-320.14.0或2 因为x+a=(x+1)+(a-1),所以(x+a)9=[(x+1)+(a-1)]9,其展开式的通项Tr+1=C9r(a-1)9-r(x+1)r,所以a5=C95(a-1)4=126,所以(a-1)4=1,解得a=0或2.15.210 由于(x3+1x2)n的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.所以(x3+1x2)n=(x3+1x2)10,展开式的通项Tr+1=C10r(x3)10-r·x-2r=C10rx30-5r,所以当r=6时,C10rx30-5r为常数项,所以常数项为210.\n16.2 121 易知(ax2+1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5-r·(1x)r=C5ra5-rx10-5r2.令10-5r2=0,解得r=4,所以常数项为T5=C54a5-4=10,解得a=2.由10-5r2∉Z,且0≤r≤5,可得r=1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T2,T4,T6,其中T2=C5125-1·x10-52=80x152,T4=C5325-3x10-152=40x52,T6=C5525-5x10-252=x-52,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.17.19 80 (1+x+x2)3=[(1+x)+x2]3,所以(1+x+x2)3的展开式中x3的系数为C31C21+C30C33=6+1=7,(1+x+x2)3的展开式中x2的系数为C31C20+C30C32=6,所以a3=7+2×6=19.对于(1+x+x2)3·(1+2x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=81.所以a1+a2+…+a7=81-1=80.18.72 f'(x)=-(1+x)4+4(a-x)(1+x)3.令x=1,得-16+32(a-1)=64,解得a=72.19.7x52和7x74 展开式中前三项的系数分别是1,n2,18n(n-1),由题意知,2·n2=1+18n(n-1),解得n=8或n=1(舍去).于是Tk+1=C8k·(x)8-k·(124x)k=C8k·2-k·x4-34k.第k+1项的系数是C8k·2-k,第k项的系数是C8k-1·2-k+1,第k+2项的系数是C8k+1·2-k-1.若第k+1项的系数最大,则C8k·2-k≥C8k-1·2-k+1且C8k·2-k≥C8k+1·2-k-1,解得2≤k≤3.又k∈Z,因此k=2,3.故系数最大的项是T3=C82·2-2·x4-34×2=7x52和T4=C83·2-3·x4-34×3=7x74.20.18 (x+a+1x)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r(a+1x)r=C6rx6-2r(a+1)r,令6-2r=2,则r=2,因此(x+a+1x)6展开式中含有x2项的系数为C62(a+1)2,由题意知C62(a+1)2≤240,则|a+1|≤4,得0≤a≤3,因为a∈N,所以a的取值集合A={0,1,2,3},所以由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有C31A32=18(个).21.-1691 解法一 (x-2y)6=C60x6+C61x5(-2y)+C62x4(-2y)2+C63x3(-2y)3+C64x2(-2y)4+C65x(-2y)5+C66(-2y)6,得A=C60+C61+C62+C63+C64+C65+C66=26=64,B=C60+C61(-2)+C62(-2)2+C63(-2)3+C64(-2)4+C65(-2)5+C66(-2)6=1,C=C61(-2)+C63(-2)3+C65(-2)5=-364,所以ABC=-64364=-1691.\n解法二 在二项式(x-2y)6的展开式中,二项式系数和A=26=64,令x=y=1,得各项系数和B=(-1)6=1,令f(x)=(x-2)6,得x的奇次幂项的系数和C=f(1)-f(-1)2=1-362=-364,所以ABC=-64364=-1691.
