课后限时集训(六十二)两个计数原理、排列与组合建议用时：25分钟一、选择题1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A．120种B．90种C．60种D．30种C [CCC＝60.]2．“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A．360种B．480种C．600种D．720种C [从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600种，故选C.]3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A．18B．24C．30D．36C [法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种．法二：从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.]4．有7名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A．240种B．192种C．96种D．48种B [当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．]5.现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有( )A．36种B．48种\nC．24种D．30种B [先给B地种植，有4种选择，再给C块地种植，有3种选择，再给A地种植，有2种选择，最后给D地种植，有2种选择．根据分步乘法计数原理可知共有4×3×2×2＝48(种)不同的种植方法．]6．某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有( )A．6种B．12种C．18种D．24种C [(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有C＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学生，有A＝6(种)排法，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×6＝18(种)．故选C.]7．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )A．90种B．180种C．270种D．360种B [根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有·A＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案．]二、填空题8．已知－＝，则m＝________.2 [由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(舍去)．]9．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．36 [由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．]10．(2020·北京朝阳区模拟)由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有________个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有________个．60 36 [根据题意，偶数共有CA＝3×20＝60(个)．对于个位数字比十位数字大的偶数，可分3种情况讨论：\n①当其个位数字为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数；②当其个位数字为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有3×4＝12个符合题意的三位数；③当其个位数字为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5，百位数字有4种情况，此时有5×4＝20个符合题意的三位数．故个位数字比十位数字大的三位偶数共有4＋12＋20＝36(个)．]1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．故选D.]2．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )A．30种B．40种C．42种D．48种C [6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：CC＝90种安排方法，其中A照顾老人甲的情况有：CC＝30种，B照顾老人乙的情况有：CC＝30种，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有：CC＝12种，∴符合题意的安排方法有：90－30－30＋12＝42种，故选C.]3．把7个字符1,1,1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有________种．96 [先排列A，A，α，β，若A，A不相邻，不同的排法有AC＝6(种)；若A，A相邻，有A＝6(种)，共有不同的排法6＋6＝12(种)．从所形成的5个空中选3个插入1,1,1，排法共有12C＝120(种)．当A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1,1,1，共有6C＝24(种)．故若三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96(种)．]\n4．精准扶贫为我国脱贫攻坚的基本方略，为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为________．360 [法一：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：(1)甲校安排1名教师，分配方案种数有C(CCA＋CCA)＝150；(2)甲校安排2名教师，分配方案种数有C(CCA＋CC)＝140；(3)甲校安排3名教师，分配方案种数有CCCA＝60；(4)甲校安排4名教师，分配方案种数有CCC＝10.由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)分配方案．法二：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC＝20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)；(2)对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCAC＝40(种)，李老师分配到三人组有CCCA＝120(种)，李老师分配到两人组有CCCA＝80(种)，所以第二种情况共有40＋120＋80＝240(种)；(3)对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．]1．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，求出场顺序的排法种数，下列列式错误的是( )A．CCA＋CAAB．AA－AAC．A－AAD．A－AA－A＋AAC [若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有CCA种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有CAA种．∴满足条件的出场顺序有CCA＋CAA种，故A正确；先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个排男生，共有AA种，若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选2个排男生，有AA种，∴满足条件的出场顺序有AA－AA种，故B正确；5位选手全排列的方法数A减去2位男生连续出场的方法数AA，再减去女生甲排在第一个的方法数A.∵多减去了2位男生既连续出场，女生甲又排在第一个的方法数AA，∴满足条件的出场顺序有A－AA－A＋AA种，故D正确．故选C.]\n2．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人．(1)有________种不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法．(1)150 (2)100 [(1)5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或3,1,1，所以有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．]
