二项式定理[考试要求] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C与C的关系是C＝C.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为C.3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.(1)C＝1；(2)C＝1；(3)C＝C；(4)C＝C＋C.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√\n二、教材习题衍生1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )A．6 B．－6 C．24 D．－24A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A．]2．二项式的展开式中x3y2的系数是( )A．5B．－20C．20D．－5A [二项式的通项为Tr＋1＝C(－2y)r.根据题意，得解得r＝2.所以x3y2的系数是C×(－2)2＝5.故选A．]3．的值为( )A．1B．2C．2019D．2019×2020A [原式＝＝＝1.故选A．]4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为．8 [令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.]考点一 二项式展开式的通项公式的应用 形如(a＋b)n的展开式问题 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．[典例1－1] (1)的展开式中x4的系数为( )\nA．10 B．20 C．40 D．80(2)若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝.(3)(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是．(1)C (2)－2 (3)16 5 [(1)Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.(2)的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x＝Ca5－r·x，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.(3)由题意，(＋x)9的通项为Tr＋1＝C()9－rxr(r＝0,1,2，…，9)，当r＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16；若展开式的系数为有理数，则r＝1,3,5,7,9，有T2,T4,T6,T8,T10共5个项．]点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数． 形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． [典例1－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )A．5B．10C．15D．20(2)(x2＋2)的展开式的常数项是( )A．－3B．－2C．2D．3(3)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于( )A．B．C．1D．2\n(1)C (2)D (3)D [(1)因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C．(2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2××C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D．(3)由题意得的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝Cx10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D．]点评：求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 形如(a＋b＋c)n的展开式问题 求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．[典例1－3] (1)将展开后，常数项是．(2)的展开式中，x3y3的系数是．(用数字作答)(1)－160 (2)－120 [(1)＝展开式的通项是C()6－k·＝(－2)k·Cx3－k.令3－k＝0，得k＝3.所以常数项是C(－2)3＝－160.(2)表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]\n点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．1．若的展开式中常数项为，则实数a的值为( )A．±2B．C．－2D．±A [的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·＝Cx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C·＝，即＝，解得a＝±2，故选A．]2．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )A．－4B．－3C．3D．4B [(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.]3.的展开式中含xy的项的系数为( )A．30B．60C．90D．120B [展开式中含xy的项来自C(－y)1，展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCx，令5－r＝1⇒r＝3，展开式中x的系数为(－1)3C，所以的展开式中含xy的项的系数为C(－1)C(－1)3＝60，故选B．]考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 (1)系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．(2)二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.\n[典例2] (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )A．50B．70C．90D．120(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为．(1)C (2)－3或1 [(1)令x＝1，则＝4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝C3rx，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C．(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.]点评：(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A．－960B．960C．1120D．1680C [因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，所以T5＝C(－2)4x4，其系数为C(－2)4＝1120.]2．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝.3 [设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②\n①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]考点三 二项式系数的性质 二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得． 二项式系数的最值问题[典例3－1] 设m为正整数，2m展开式的二项式系数的最大值为a，2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝.7 [2m展开式中二项式系数的最大值为a＝C，2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b＝C，因为15a＝8b，所以15C＝8C，即15＝8，解得m＝7.] 项的系数的最值问题[典例3－2] 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为，系数的绝对值最大的项为．－8064 －15360x4 [由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5＝－8064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，令得即解得≤k≤.∵k∈Z，∴k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15360x4.]点评：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b\n的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )A．3B．5C．6D．7D [根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·＝()20－r·C·x，要使x的指数是整数，需r是3的倍数且0≤r≤20，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．]2．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为．C(3x)7和C(3x)8 [由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.]
