专题六函数与导数第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟1.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln＝ln，∵y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减.故选D.答案 D2.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )\n解析 显然f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D适合.答案 D3.(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.答案 D4.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.解析 依题意得，当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.\n答案 －3考点整合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一 函数及其表示【例1】(1)(2020·合肥质检)函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为( )A.B.\nC.D.(2)(2020·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为( )A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]解析 (1)要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，则解得＜x≤.∴f(x)的定义域为.(2)∵f(x)＝f(－1)＝3，∴f(－1)＝a－1＋1＝3，则a＝，故f(x)＝由f(x)≤5，∴当x＞0时，2x－1≤5，解得0＜x≤3，当x≤0时，＋1≤5，－2≤x≤0.综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].答案 (1)B (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.【训练1】(1)(2020·成都诊断)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )A.B.{－1，0，1}C.{－1，0，1，2}D.{0，1，2}\n(2)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)令t＝2x，t∈(1，4)，则f(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－≤f(t)＜，因此[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.(2)当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或所以x<0.答案 (1)B (2)D热点二 函数的图象及应用【例2】(1)(2020·浙江卷)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是( )(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，1]B.[1，4]C.[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞)解析 (1)因为f(x)＝xcosx＋sinx，则f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x＝π时，y＝πcosπ＋sin\nπ＝－π＜0，知B错误，只有A满足.(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.答案 (1)A (2)D探究提高 1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 (1)因为y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除A，D项，B正确.(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).\n又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.答案 (1)B (2)D热点三 函数的性质及应用角度1 函数的周期性、奇偶性【例3】(1)(2020·淄博二模)偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2020)＝( )A.2B.0C.－1D.1(2)(多选题)(2020·淄博质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是( )A.f(7)＝0B.f(x)的一个周期为8C.f(x)图象的一个对称中心为(3，0)D.f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2019解析 (1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝0对称，又f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)的周期T＝4|1－0|＝4.∴f(2020)＝f(2020－4×505)＝f(0)，又当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1.故f(2020)＝f(0)＝1.(2)依题意知，直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴，(－1，0)是f(x)图象的一个对称中心，又因为f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，f(x)＝－f(－x－2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－8)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7)＝f(－1)＝0，故A正确；因为f(x\n)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；x＝2019＝8×252＋3，所以直线x＝2019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误，故选ABC.答案 (1)D (2)ABC角度2 函数的单调性与最值【例4】(1)(2020·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则( )A.c＞b＞aB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.a＞c＞b(2)(2020·东北三省三校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为________.解析 (1)由f(－x)－f(x)＝0及函数f(x)的定义域为R，知f(x)是偶函数，易知f(x)＝－2－x在[0，＋∞)上单调递增.因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f＝f(－log35)＝f(log35)，且31.2＞3，1＝log33＜log35＜log327＝3，0＜3－0.2＜1，即31.2＞log35＞3－0.2＞0，所以f(31.2)＞f(log35)＞f(3－0.2)，即a＞c＞b.(2)由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，且函数f(x)的定义域为R，可知f(x)的图象关于y轴对称，∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，得－≤a≤－在[1，2]上恒成立.所以－≤a≤－1，故a的最大值为－1.答案 (1)D (2)－1探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】(1)(2020·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝( )\nA.B.C.－D.－(2)(多选题)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，下列命题正确的是( )A.f(2019)＋f(－2020)＝0B.函数f(x)在定义域上是周期为2的函数C.直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点D.函数f(x)的值域为(－1，1)解析 (1)依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2＜log25＜3，则－1＜2－log25＜0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)＝－＝.(2)根据题意，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，又由f(x)为奇函数，则f(x)的部分图象如图.对于A，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x).当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(0)＝log21＝0，f(1)＝－f(0)＝0，又f(2019)＝f(1)＝0，f(2020)＝f(0)＝0，f(x)为奇函数，所以f(－2020)＝－f(2020)＝0，故f(2019)＋f(－2020)＝0，故A正确；对于B，由于f＝f＝－f＝－log2，f＝－f＝－log2，∴f≠f，即周期不是2，B错误；对于C，如图，直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点，其坐标为(0，0)，C错误；对于D，函数f(x)的值域为(－1，1)，D正确.故选AD.答案 (1)B (2)ADA级 巩固提升一、选择题\n1.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1解析 设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝1－e－x.答案 D2.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析 法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.法二 由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.答案 C3.(2020·江南十校模拟)函数f(x)＝在上的图象大致为( )\n解析 根据题意，有f(－x)＝－＝－f(x)，且定义域关于原点对称，则在上f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B；又在区间上，x＞0，cosx＞0，2x＞0，2－x＞0，则f(x)＞0，排除D，只有C适合.答案 C4.(多选题)函数f(x)＝则关于函数f(x)的说法正确的是( )A.定义域为RB.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点解析 f(x)＝∴f(x)的定义域为R，值域为(－3，e－3)∪[0，＋∞)，且e－3＜0，∴f(x)在R上为增函数，且f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点.故ACD正确，B不正确.答案 ACD5.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f>f(2－)>f(2－)B.f>f(2－)>f(2－)C.f(2－)>f(2－)>fD.f(2－)>f(2－)>f解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f＝f(－log34)＝f(log34).\n又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)<f(2－)<f(2－).答案 C6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是( )A.f(0)＝－，f(－1)＝－B.f(x)为R上的减函数C.f(x)＋为奇函数D.f(x)＋1为偶函数解析 由已知，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＋，∴f(0)＝－，令x＝，y＝－，得f＝f＋f＋，∴f＝－1，再令x＝y＝－，得f＝f＋f＋，∴f(－1)＝－，A正确；取y＝－1，得f(x－1)＝f(x)＋f(－1)＋，∴f(x－1)－f(x)＝－1<0，即f(x－1)<f(x)，∵x－1<x，∴f(x)不是R上的减函数，B错误；令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋，∴＋＝0，故C正确；令g(x)＝f(x)＋，由C可知g(x)为奇函数，∴g(－x)＋＝－g(x)＋，即＋＝－＋，∴f(－x)＋1＝－f(x)，故D错误.答案 AC二、填空题7.(2020·郑州模拟)已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.解析 ∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1.所以f(x)＝ex＋e－x≥2＝2.当且仅当x＝0时取等号.故函数f(x)的最小值为2.答案 2\n8.(2020·合肥模拟)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)＜0的解集为________.解析 ∵xf(x)＜0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)＜0，∴不等式xf(x)＜0的解集为(－2，－1)∪(1，2).答案 (－2，－1)∪(1，2)9.已知函数f(x)＝，g(x)＝－ex－1－lnx＋a对任意的x1∈[1，3]，x2∈[1，3]恒有f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是________.解析 f(x)＝＝(x＋1)＋－3.易知x∈[1，3]时，f′(x)＝1－>0，∴f(x)在[1，3]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝－.又g(x)在[1，3]上是减函数，知g(x)max＝g(1)＝a－1.若恒有f(x1)≥g(x2)成立，则－≥a－1，∴a≤.答案 三、解答题10.已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)<f(2).\n解 (1)f(0)＝a－＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝1(经检验符合题意).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴不等式的解集为(－∞，2).B级 能力突破11.(2020·福州模拟)已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x2)－f(x1)]＜0，则不等式f(－2x＋1＋1)＜f(5)的解集为________.解析 因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称.因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称.因为∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由此可得函数f(x)在(－∞，1)上单调递减.因为f(－2x＋1＋1)＜f(5)，且f(5)＝f(－3)，－2x＋1＋1＜1，所以－2x＋1＋1＞－3，即2x＋1＜4，解得x＜1，\n所以所求不等式的解集为(－∞，1).答案 (－∞，1)12.已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以即有解得2－2ln2<a≤3－2ln3.所以实数a的取值范围为(2－2ln2，3－2ln3].
