第1讲 函数图象与性质及函数与方程一、选择题1.(2022·石家庄模拟)函数f(x)＝的定义域为( )A.(－∞，0]B.[0，1)∪[1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)解析 由题意知解得x≤0且x≠1.答案 A2.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )A.B.C.(1，2)D.(2，3)解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.f＝log2－＝－1－2＝－3＜0，f(1)＝log21－＝0－1＜0，f(2)＝log22－＝1－＝＞0，f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.答案 C3.(2022·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y＝lnxB.y＝x2＋1C.y＝sinxD.y＝cosx解析 对数函数y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sinx是奇函数；y＝cosx是偶函数且有零点，故选D.4\n答案 D4.(2022·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞)解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.答案 C5.(2022·天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5解析 函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，记h(x)＝－f(2－x)，在同一坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象，如图，g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位，可知f(x)与g(x)的图象有两个交点，故选A.答案 A二、填空题6.(2022·浙江卷)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.解析 log2＝log22－＝－，2log23＋log43＝2log23＋log23＝2log23＝3.答案 － 37.(2022·长沙模拟)已知奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈(0，1)时，f(x)＝2x，则f的值为________.解析 由f(x＋2)＝－f(x)知f(x)的周期为4，又f(－x)＝－f(x)，∴f＝f＝f＝－f＝－.答案 －4\n8.(2022·武汉模拟)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.解析 当x＞0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1.答案 (0，1]三、解答题9.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝－(a∈R).(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.解 (1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝1，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，∴f(－x)＝－＝4x－2x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋.∴g(t)在[1，2]上是减函数，∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.10.(2022·太原模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，故⇒⇒②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，4\n故⇒⇒故或(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.若g(x)在[2，4]上单调，则≤2或≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).11.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0).(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.解 (1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象.∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).4
