河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《9-6空间向量及其运算》试题 理 新人教A版

河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学闯关密练特训《9-6空间向量及其运算》试题理新人教A版1.(2022·芜湖模拟)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为(　　)A.，－，4　　　　　B.，－，4C.，－2,4D．4，，－15[答案]　B[解析]　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，则解得2．(2022·日照模拟)若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)A.B.C．－D．0[答案]　C[解析]　cos〈a，b〉＝＝＝－.3．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直[答案]　B[解析]　＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，＝－3，又＝(5,3，－5)，∥\'，∴AB∥CD.4．(2022·天津模拟)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、-11-\nc三向量共面，则实数λ等于(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即有解得m＝，n＝，λ＝.5．(2022·济宁月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝(　　)A.aB.aC.aD.a[答案]　A[解析]　＝－＝－＝＋－＝＋－.∴||＝＝a.6.(2022·丽水调研)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为(　　)-11-\nA．(1,1,1)B．(1,1，)C．(1,1，)D．(1,1,2)[答案]　A[解析]　由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0,2m)(m>0)，则E(1,1，m)，∴＝(－1,1，m)，＝(0,0,2m)，∴||＝，||＝，·＝2m2，∵cos〈，〉＝，∴＝，解之得m＝1，故选A.7．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.[答案]　2[解析]　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.8．若a＝(3x，－5,4)与b＝(x,2x，－2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为________．[答案]　[解析]　∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0，∴3x2－10x－8<0，∴－<x<4，又当a与b方向相反时，a·b<0，∴存在λ<0，使a＝λb，-11-\n∴(3x，－5,4)＝(λx,2λx，－2λ)，∴此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－<x<4.9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别在直线AA1和BD1上运动．当M、N在何位置时，|MN|最小，且|MN|的最小值是________．[答案]　[解析]　建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设M(1,0，t)，＝λ，则0≤t≤1,0≤λ≤1，设N(x0，y0，z0)，则(x0－1，y0－1，z0)＝λ(－1，－1,1)，∴∴N(1－λ，1－λ，λ)，∴＝(－λ，1－λ，λ－t)，||2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t)2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t)2＝2(λ－)2＋(λ－t)2＋，当且仅当λ＝＝t时，||2取到最小值，∴||的最小值为.10．(2022·福州模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以、为边的平行四边形的面积；-11-\n(2)若|a|＝且a分别与、垂直，求向量a的坐标．[解析]　＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)．(1)因为cos〈，〉＝＝＝.所以sin〈，〉＝.所以S＝||·||sin〈，〉＝7.即以、为边的平行四边形面积为7.(2)设a＝(x，y，z)，由|a|＝，a⊥，a⊥，可得⇒或所以a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).能力拓展提升11.三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点．则AE与CF所成角的余弦值等于(　　)A.B.-11-\nC.D.[答案]　A[解析]　以C为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC＝1，则A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点，∴E(，0,1)，F(0，，1)，∴＝(－，0,1)，＝(0，，1)，∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.12．(2022·天津模拟)正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为(　　)A．1B.C.D．2[答案]　C[解析]　＝＋＝－(＋)＋，由条件知||＝||＝||＝2，·＝·＝·＝2，∴||2＝[||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·]＝2，∴||＝.13．(2022·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)-11-\nA．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c[答案]　A[解析]　＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)＝c－a＋b，故选A.14．(2022·泰安模拟)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于________．[答案]　－a＋b＋c[解析]　＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.[点评]　空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．15．(2022·东营期末)若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.(3)以坐标原点O为起点作向量＝a，＝b，求O到直线AB的距离．[解析]　ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，-11-\na－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，解得k＝－.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.解得k＝.(3)由条件知A(1,5，－1)，B(－2,3,5)，∴＝(－1，－5,1)，＝(－3，－2,6)，·＝19，||＝7，∴O到直线AB的距离d＝＝.16.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.[解析]　-11-\n由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A－xyz.(1)设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(0,0,2c)．所以，＝(0，b,0)，＝(0，b,0)，于是＝.又点G不在直线BC上，则GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以＝(－a,0，c)，＝(－a,0，c)，＝，又C∉EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．(3)由AB＝BE，得c＝a，所以＝(－a,0，a)，＝(a,0，a)，又＝(0,2b,0)，因此·＝0，·＝0，即CH⊥AE，CH⊥AD，又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.[点评]　如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：-11-\n(1)由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG，由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．(3)连结EG，由AB＝BE，BE綊AG，及∠BAG＝90°知四边形ABEG是正方形，故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，∴BG⊥ED.又EC∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.1．(2022·郑州一中月考)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]　C[解析]　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，-11-\n故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为(　　)A．0B.C．1D．无法确定[答案]　A[解析]　·＋·＋·＝·(－)＋(－)·＋(－)·＝·－·＋·－·＋·－·＝0，故选A.3．已知斜三棱柱ABC－A′B′C′，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k(0≤k≤1)，求证：三向量、a、c共面．[解析]　＝＋＝＋k＝＋k(－)＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，＝k＝k(＋)＝kb＋kc，＝－＝(1－k)a－kc.∵向量a和c不共线，∴、a、c共面．-11-