（江苏专用）2013年高考数学总复习第八章第7课时抛物线随堂检测（含解析）1．(2011·高考陕西卷改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由题意得＝2，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.答案：y2＝8x2．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m＝________.解析：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∵点A到准线x＝－的距离为6，∴4－＝6，∴p＝4.又∵A在抛物线上，∴m2＝32，∴m＝±4.答案：±43．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线和抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5.则这样的直线有________条．解析：设过焦点的直线为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2y2)，由∴k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.其中k≠0，否则只有一个交点．∴x1＋x2＝＝5，∴k＝±.答案：24．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．解析：当所给直线的斜率存在时，设过点P(4,0)的直线为y＝k(x－4)，将x＝代入直线方程，得ky2－4y－16k＝0.∴y1y2＝－16，又y1＋y2＝.∴y＋y＝＋32>32.又当所给直线的斜率不存在时，易算得此时y＋y＝32，∴y＋y≥32.答案：325．如图所示，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足．求证：(1)AN⊥BN；(2)FN⊥AB；(3)若MN交抛物线于Q，则Q平分MN；2\n(4)＋＝.证明：(1)作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，在直角梯形ABDC中，∵|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∴|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，由平面几何知识可知△ANB是直角三角形，即AN⊥BN.(2)∵AM＝NM，∴∠MAN＝∠MNA，∵AC∥MN，∴∠CAN＝∠MNA，∴∠MAN＝∠CAN.在△ACN和△AFN中，AN＝AN，AC＝AF，且∠CAN＝∠FAN，∴△ACN≌△AFN，∴∠NFA＝∠NCA＝90°，即FN⊥AB.(3)在Rt△MFN中，连结QF，由抛物线的定义及(2)的结论得|QN|＝|QF|⇒∠QNF＝∠QFN，且∠QFN＝90°－∠QFM，∠QMF＝90°－∠QNF，∴∠QFM＝∠QMF，∴QF＝QM.∴|QN|＝|QM|，即Q平分MN.(4)当AB不垂直于x轴时，可设AB的方程为y＝k，将之与y2＝2px联立，消去x，得ky2－2py－kp2＝0(k≠0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1·y2＝－p2，∵y＝2px1，y＝2px2，∴x1x2＝＝.x1＋x2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝＋p，∴＋＝＋＝＝＝＝，当AB垂直于x轴时，∵|FA|＝|FB|＝p，结论显然成立，∴综上可知，＋＝.2
